Resolva cada PVI dado.
Observação: A ED dada é separável. A solução pode ser uma função implícita.
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Observação: A ED dada é separável. A solução pode ser uma função implícita.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI de uma EDO separável:
Temos
Temos
Vamos usar separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro fatoramos numerador e denominador para enxergar a separação:
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Logo
Passo 3
Agora separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x de outro:
Esse passo é a essência de EDOs separáveis: reorganizar para integrar cada variável separadamente.
Passo 4
Integramos ambos os lados.
No lado de y:
No lado de y:
No lado de x:
Assim obtemos a relação geral
Passo 5
Colocando a constante de integração e escrevendo a solução implícita:
Passo 6
Usamos a condição inicial
. Substituindo
e
:
Portanto a constante é
.
Resposta
Solução implícita: