Resolva cada PVI dado.
Observação: A ED dada é separável. A solução pode ser uma função implícita.
d yd x=x y+2 y-x-2x y-3 y+x-3, y(4)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de uma EDO separável:
Temos
dydx=xy+2y-x-2xy-3y+x-3, y(4)=0
Vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro fatoramos numerador e denominador para enxergar a separação:
Numerador:
xy+2y-x-2=(x+2)(y-1)
Denominador:
xy-3y+x-3=(x-3)(y+1)
Logo
dydx=(x+2)(y-1)(x-3)(y+1)

Passo 3

Agora separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x de outro:
y+1y-1,dy=x+2x-3,dx
Esse passo é a essência de EDOs separáveis: reorganizar para integrar cada variável separadamente.

Passo 4

Integramos ambos os lados.
No lado de y:
integraly+1y-1,dy=integrall(1+2y-1r)dy=y+2ln|y-1|
No lado de x:
integralx+2x-3,dx=integrall(1+5x-3r)dx=x+5ln|x-3|
Assim obtemos a relação geral

Passo 5

Colocando a constante de integração e escrevendo a solução implícita:
y+2ln|y-1|=x+5ln|x-3|+C

Passo 6

Usamos a condição inicial y(4)=0. Substituindo x=4 e y=0:
0+2ln|0-1|=4+5ln|4-3|+Cimplies 2ln1=4+5ln1+Cimplies 0=4+0+Cimplies C=-4
Portanto a constante é C=-4.

Resposta

Solução implícita:
y+2ln|y-1|=x+5ln|x-3|-4

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