Calcule as integrais.
integral-infty^2 11+x d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral imprópria integral-infty^211+x,dx. O conteúdo aqui é integramos impróprias: temos um limite em xto-infty e uma descontinuidade em x=-1, pois o denominador se anula.

Passo 2

Como há singularidade em x=-1, quebramos a integral em duas partes e introduzimos limites:
integral-infty^211+x,dx =limAto-inftyintegralA^-111+x,dx +limBto-1^+integralB^211+x,dx

Passo 3

Calculamos cada parte usando integral11+x,dx=ln|1+x|+C.
Para a primeira parte:
limAto-inftyl[ln|1+x|r]x=A^x=-1 =limAto-inftyl(ln|1+(-1)|-ln|1+A|r) =limAto-inftyl(ln0-ln|1+A|r) =-infty
Ou seja, já diverge para xto-1^-.

Passo 4

Mesmo que tentássemos calcular a segunda parte, teríamos
limBto-1^+l[ln|1+x|r]x=B^x=2 =limBto-1^+l(ln3-ln|1+B|r) =+infty,
outra divergência em xto-1^+. Portanto a integral não converge.

Passo 5

Como pelo menos uma das duas partes diverge, concluímos que a integral imprópria integral-infty^211+x,dx diverge.

Resposta

A integral diverge (não converge).

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