Determine as derivadas parciais indicadas. z=u v raizv-w ; partial^2 zpartial u partial v partial w

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar a derivada parcial mista . Esse tipo de derivada envolve calcular derivadas sucessivas em diferentes variáveis. Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra de derivação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função z = u v cdot v^1/2 - w . Note que z = u v^3/2 - w pode ser escrita como . Assim, a função fica:
Multiplicando os termos de , temos:

Passo 3

Agora, vamos começar a calcular as derivadas parciais. Primeiro, vamos derivar partial zpartial u = v^3/2 em relação a :
Isso porque a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é zero.

Passo 4

Em seguida, vamos derivar o resultado anterior em relação a partialpartial v ( partial zpartial u ) = partialpartial v ( v^3/2 ) = 32 v^1/2 :
Aqui, usamos a regra do poder para derivar .

Passo 5

Por fim, vamos derivar o resultado obtido em relação a partialpartial w ( partialpartial v ( partial zpartial u ) ) = partialpartial w ( 32 v^1/2 ) = 0 :
Como não há termo com na expressão , a derivada em relação a é zero.

Resposta

partial^2 zpartial u partial v partial w = 0

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