Calcule o comprimento das curvas.
r(t)=(2, t^4) para 0 <= t <= 3.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica r(t) = (2, t^4) para 0 <= t <= 3. O conteúdo envolvido é comprimento de curva, e vamos usar a fórmula L = integrala^b raiz(x'(t))^2 + (y'(t))^2,dt.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas das componentes: x'(t) = 0 e y'(t) = 4t^3. O integrando fica
raiz(x'(t))^2 + (y'(t))^2 = raiz0 + (4t^3)^2 = raiz16,t^6 = 4t^3, t>=0

Passo 3

Logo o comprimento é dado por
L = integral0^3 4t^3 ,dt

Passo 4

Agora basta calcular essa integral:
integral0^3 4t^3 ,dt = 4cdot t^44 |0^3 = t^4 |0^3 = 3^4 - 0 = 81

Resposta

81

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