Calcule as integrais.
integral-pi / 4^pi / 4 t^4 tg t2+cos t d t

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral definida integral-pi/4^pi/4 t^4 tan t2+cos t,dt. O conteúdo principal envolve o conceito de paridade de funções e a propriedade de integrais definidas em intervalos simétricos.

Passo 2

Analisando cada parte da função integranda: a função t^4 é par porque t^4 = (-t)^4; tan t é ímpar pois tan(-t) = -tan t; e 2 + cos t é par já que cos(-t) = cos t. Assim, o quociente t^4 tan t2 + cos t resulta em uma função ímpar (par × ímpar / par = ímpar).

Passo 3

Para qualquer função ímpar f integrável em um intervalo simétrico [-a,a] vale
integral-a^a f(t),dt = 0
Como identificamos que f(t) = t^4 tan t2 + cos t é ímpar e [-pi/4,pi/4] é simétrico, concluímos que a integral se anula.

Resposta

0

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