Calcule as integrais.
integral2^3 d ss^3(s-1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral2^3d ss^3(s-1)^2. O conteúdo principal aqui é a decomposição em frações parciais de uma função racional e, em seguida, a integração termo a termo.

Passo 2

Para decompor 1/(s^3(s-1)^2) fazemos
1s^3(s-1)^2=As+Bs^2+Cs^3+Ds-1+E(s-1)^2
Multiplicando ambos os lados por s^3(s-1)^2 e comparando coeficientes de potências de s obtemos o sistema
$$\begin{cases}
A+D=0,\
-2A+B-D+E=0,\
A-2B+C=0,\
B-2C=0,\
C=1.
\end{cases} A+D=0, -2A+B-D+E=0, A-2B+C=0, B-2C=0, C=1 úçãáã\frac{1}{s{3}(s-1){2}}=\frac{3}{s}+\frac{2}{s{2}}+\frac{1}{s{3}}-\frac{3}{s-1}+\frac{1}{(s-1)^{2}}.$$

Passo 3

Integrando termo a termo, um antiderivado é
F(s)=3ln|s|-2s-12s^2-3ln|s-1|-1s-1
Agora calculamos F(3)-F(2):
F(3)=3ln3-3ln2-23-118-12=3ln32-119,
F(2)=3ln2-3ln1-1-18-1=3ln2-178

Passo 4

Subtraindo,
integral2^3dss^3(s-1)^2=F(3)-F(2)=3l(lntfrac32-ln2r)+178-119=3lntfrac34+6572

Resposta

3lntfrac34+tfrac6572

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