Calcule as integrais:
integral raizx sen(1+x^3 / 2) d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral raizx,sinl(1 + x^3/2r),dx
Aqui vamos usar o método de substituição (u-substitution), pois dentro do seno aparece a função composta 1 + x^3/2. Precisamos lembrar que a derivada de x^3/2 é tfrac32x^1/2, o que casa bem com o fator raizx que está multiplicando.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 1 + x^3/2
Derivando em relação a x, obtemos
du = 32,x^1/2,dx

Passo 3

Isolamos x^1/2,dx para trocar de variável na integral:
x^1/2,dx = 23,du

Passo 4

Substituindo na integral original, fica
integral raizx,sinl(1 + x^3/2r),dx = integral sin(u),23,du = 23integral sin(u),du
E sabemos que
integral sin(u),du = -cos(u) + C
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23integral sin(u),du = -23cos(u) + C

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 1 + x^3/2 e obtemos
-23cosl(1 + x^3/2r) + C

Resposta

-23cosl(1 + x^3/2r) + C

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