(a) É conhecido que e^x-y=e^xe^y. Baseado neste fato, mostre que, para qualquer a>0 e a neq 1, temos sempre a^x-y=a^xa^y.
(b) Calcule a integral integral0^2 x^2+2x+1 d x.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) mostrar que para toda base a>0, aneq1, vale
a^x-y=a^xa^y,
sabendo que para a base e já existe
e^x-y=e^xe^y.
(b) calcular a integral
integral0^2x^2+2x+1,dx.
Vamos usar, respectivamente, propriedades de exponenciais e logaritmos no item (a), e divisão de polinômio seguida de integração no item (b).

Passo 2

Para o item (a), lembramos que para a>0 existe ln(a) tal que
a = e^ln(a)
Logo,
a^x-y = l(e^ln(a)r)^x-y = e^(x-y)ln(a) = e^xln(a)-yln(a) = e^xln(a)e^yln(a) = a^xa^y

Passo 3

Para o item (b), fazemos a divisão de polinômio:
x^2+2x+1 = x-1 + 3x+1
pois (x+1)(x-1)=x^2-1 e sobra 3. Assim
integral0^2x^2+2x+1,dx = integral0^2!l(x-1r)dx + 3integral0^21x+1,dx
Calculando cada parte:
integral0^2(x-1),dx =[x^22-x]0^2 =l(2-2r)-0=0,
3integral0^21x+1,dx =3l[ln(x+1)r]0^2 =3l(ln3-ln1r) =3ln3
Somando dá 0+3ln3=3ln3.

Resposta

(a) a^x-y=a^xa^y
(b) integral0^2x^2+2x+1,dx = 3ln3

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