(a) É conhecido que
. Baseado neste fato, mostre que, para qualquer
e
, temos sempre
.
(b) Calcule a integral
.
(b) Calcule a integral
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(a) mostrar que para toda base ,
, vale
(a) mostrar que para toda base
sabendo que para a base
já existe
.
(b) calcular a integral
.
Vamos usar, respectivamente, propriedades de exponenciais e logaritmos no item (a), e divisão de polinômio seguida de integração no item (b).
(b) calcular a integral
Vamos usar, respectivamente, propriedades de exponenciais e logaritmos no item (a), e divisão de polinômio seguida de integração no item (b).
Passo 2
Para o item (a), lembramos que para
existe
tal que
Logo,
Passo 3
Para o item (b), fazemos a divisão de polinômio:
pois
e sobra
. Assim
Calculando cada parte:
Somando dá
.
Resposta
(a)
(b)
(b)