Calcule as integrais:
integral sec ^7 x tg^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sec^7x,tan^5x ,dx
O conteúdo principal aqui é o uso de identidades trigonométricas e mudança de variável. Vamos usar tan^2x=sec^2x-1 para expressar toda a integral em termos de sec x e depois fazer a substituição u=sec x.

Passo 2

Começamos isolando um fator tan x,dx, pois sabemos que
ddx(sec x)=sec xtan x
Escrevemos
tan^5x = tan^4x;tan x = (tan^2x)^2,tan x = (sec^2x-1)^2,tan x
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sec^7x,tan^5x,dx = sec^7x;(sec^2x-1)^2,tan x,dx

Passo 3

Agora fazemos a substituição
u = sec x, du = sec xtan x,dx
No integrando, separamos um fator sec xtan x,dx e agrupamos o resto em potências de u:
sec^7x,tan x,dx = sec^6x;(sec xtan x,dx) = u^6,du
Portanto a integral se torna
integral sec^7x,(sec^2x-1)^2,tan x,dx = integral u^6(u^2-1)^2,du

Passo 4

Expandimos o quadrado dentro da integral:
(u^2-1)^2 = u^4 -2u^2 +1,
então
u^6(u^2-1)^2 = u^6(u^4 -2u^2 +1) = u^10 -2u^8 +u^6
A integral fica
integral (u^10 -2u^8 +u^6),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral u^10,du = u^1111, integral -2u^8,du = -2cdotu^99, integral u^6,du = u^77
Somando,
integral (u^10 -2u^8 +u^6),du = u^1111 - 2u^99 + u^77 + C

Passo 6

Voltando à variável original x, lembrando que u=sec x, obtemos
integral sec^7x,tan^5x,dx = sec^11x11 - 2sec^9x9 + sec^7x7 + C

Resposta

boxedsec^11x11 ;-;2sec^9x9;+;sec^7x7 + C

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