Determine a solução geral de:
‘’
’
’
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Para resolver, vamos (i) encontrar a solução geral da equação homogênea associada, usando a equação característica, e depois (ii) obter uma solução particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Resolvendo a homogênea
montamos a equação característica
Como
, a raiz é dupla
. Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Vamos agora buscar uma solução particular
para
Como o lado direito é soma de
e constante
, propomos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
obtemos
Queremos isto igual a
, logo
Assim
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma de
e
: