Determine a solução geral de:
y ‘’ -y -y +y=2 e^-x+3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = 2e^-x + 3
Para resolver, vamos (i) encontrar a solução geral da equação homogênea associada, usando a equação característica, e depois (ii) obter uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' - 2y' + y = 0,
montamos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0
Como r^2 - 2r + 1=(r-1)^2, a raiz é dupla r=1. Logo, a solução geral da homogênea é
yc = l(C1 + C2 xr)e^x

Passo 3

Vamos agora buscar uma solução particular yp para
y'' - 2y' + y = 2e^-x + 3
Como o lado direito é soma de 2e^-x e constante 3, propomos
yp = A e^-x + B,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = -A e^-x, yp'' = A e^-x
Substituindo em y'' - 2y' + y obtemos
yp'' - 2yp' + yp = A e^-x -2(-A e^-x) + l(A e^-x+Br) = 4A,e^-x + B
Queremos isto igual a 2e^-x+3, logo
4A = 2 Longrightarrow A = tfrac12, B = 3
Assim
yp = tfrac12 e^-x + 3

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma de yc e yp:
y(x) = l(C1 + C2 xr)e^x + tfrac12 e^-x + 3

Resposta

y(x) = l(C1 + C2 xr)e^x + tfrac12 e^-x + 3

Exercícios relacionados