1. Use sua engenhosidade para resolver a equação
d yd x=1e^4 y+2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dydx = 1e^4y + 2x
O conteúdo aqui é reconhecer que podemos inverter a derivada e obter uma equação linear em x como função de y.

Passo 2

Invertendo a derivada, temos
dxdy = e^4y + 2x
Assim, vemos que x(y) satisfaz a equação linear
dxdy - 2x = e^4y

Passo 3

Para resolver a ODE linear em x, usamos o fator integrante. A forma padrão é
dxdy + P(y),x = Q(y),
aqui com P(y) = -2 e Q(y)=e^4y.

Passo 4

O fator integrante é
mu(y) = e^integral P(y),dy = e^integral -2,dy = e^-2y
Multiplicando a equação linear por mu(y)
e^-2ydxdy - 2e^-2yx = e^-2ye^4y = e^2y

Passo 5

O lado esquerdo é agora a derivada do produto x,e^-2y, pois
ddyl(x,e^-2yr) = e^-2ydxdy + xddyl(e^-2yr) = e^-2ydxdy -2e^-2yx
Logo,
ddyl(x,e^-2yr) = e^2y

Passo 6

Integramos em y:
x,e^-2y = integral e^2y,dy = 12e^2y + C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por e^2y resulta
x = 12e^4y + C,e^2y

Passo 7

Essa é a solução geral em forma implícita. Se quisermos y em função de x, fazemos a mudança u=e^2y, obtendo
x = 12u^2 + C,u Longrightarrow u^2 + 2C,u - 2x = 0
Da fórmula de Bhaskara,
u = -C pm raizC^2 + 2x
Como u=e^2y>0, escolhemos o sinal “ +”:
e^2y = -C + raizC^2 + 2x Longrightarrow y = 12ln!l(raizC^2 + 2x - Cr)

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
x = 12e^4y + C,e^2y,
ou explicitamente por
y(x) = 12ln!l(raizC^2 + 2x - Cr),
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados