Use as sequências das somas parciais para mostrar que
sumn=1^infty 1n(n+1)=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série infinita
sumn=1^infty 1n(n+1)
converge e que seu valor é 1. Esse tipo de série é conhecido como série telescópica, e para resolvê-la vamos usar a técnica de frações parciais e estudar a sequência de somas parciais.

Passo 2

Aplicamos frações parciais ao termo geral
1n(n+1)
Procuramos constantes A e B tais que
1n(n+1)=An+Bn+1
Igualando numeradores:
1=A(n+1)+Bn=An + A + Bn=(A+B)n + A
Para todo n devemos ter A+B=0 e A=1. Logo
A=1, B=-1
e
1n(n+1)=1n-1n+1

Passo 3

Definimos a N-ésima soma parcial
SN=sumn=1^N1n(n+1) =sumn=1^Nl(1n-1n+1r)
Escrevendo os primeiros termos:
SN=l(1-tfrac12r)+l(tfrac12-tfrac13r) +l(tfrac13-tfrac14r)+cdots+l(tfrac1N-tfrac1N+1r)
Note que todos os termos intermediários cancelam, restando
SN=1-1N+1

Passo 4

Para concluir que a série converge, tomamos o limite das somas parciais quando Ntoinfty:
limNtoinftySN =limNtoinftyl(1-1N+1r) =1-0 =1
Isso mostra que a série converge para 1.

Resposta

sumn=1^infty1n(n+1)=1

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