Use as sequências das somas parciais para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série infinita
converge e que seu valor é . Esse tipo de série é conhecido como série telescópica, e para resolvê-la vamos usar a técnica de frações parciais e estudar a sequência de somas parciais.
converge e que seu valor é
Passo 2
Aplicamos frações parciais ao termo geral
Procuramos constantes
e
tais que
Igualando numeradores:
Para todo
devemos ter
e
. Logo
e
Passo 3
Definimos a
-ésima soma parcial
Escrevendo os primeiros termos:
Note que todos os termos intermediários cancelam, restando
Passo 4
Para concluir que a série converge, tomamos o limite das somas parciais quando
:
Isso mostra que a série converge para
.