Calcule as integrais: integral sen^5(2 t) cos ^2(2 t) d t

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral . Esse exercício está ligado ao tópico de integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar técnicas de substituição e identidades trigonométricas. Vamos precisar entender como manipular potências de seno e cosseno para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que a potência de seno é ímpar ( integral sin^5(2t) cos^2(2t) , dt = integral sin^4(2t) cdot sin(2t) cos^2(2t) , dt ). Isso é útil porque podemos separar um fator de para facilitar a substituição. Vamos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica sin^4(2t) = (sin^2(2t))^2 = (1 - cos^2(2t))^2 para reescrever integral (1 - cos^2(2t))^2 cdot sin(2t) cos^2(2t) , dt :
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar du = -2 sin(2t) , dt implies -12 du = sin(2t) , dt . Então, precisamos calcular integral (1 - u^2)^2 cdot u^2 cdot (-12 du) = -12 integral (1 - u^2)^2 u^2 , du :
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
-12 integral (1 - 2u^2 + u^4) u^2 , du = -12 integral (u^2 - 2u^4 + u^6) , du
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
-12 ( u^33 - 2 cdot u^55 + u^77 ) + C
Simplificando:
-16 u^3 + 15 u^5 - 114 u^7 + C

Passo 7

Por fim, substituímos -16 cos^3(2t) + 15 cos^5(2t) - 114 cos^7(2t) + C de volta:

Resposta

-16 cos^3(2t) + 15 cos^5(2t) - 114 cos^7(2t) + C

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