Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=0^infty n!2 cdot 5 cdot 8 cdot cdots cdot(3 n+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para testar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta da matemática para analisar o comportamento de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, lembremos como funciona o Teste da Razão. Ele diz que, dado uma série , calculamos o limite :
  • Se , a série converge.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral an = n!2 cdot 5 cdot 8 cdot cdots cdot(3n+2) da nossa série:
an+1 = (n+1)!2 cdot 5 cdot 8 cdot cdots cdot(3n+2) cdot (3(n+1)+2) = (n+1)!2 cdot 5 cdot 8 cdot cdots cdot(3n+2) cdot (3n+5)
E o termo seguinte será:

Passo 4

Vamos calcular a razão an+1an = (n+1)!2 cdot 5 cdot 8 cdot cdots cdot(3n+2) cdot (3n+5) times 2 cdot 5 cdot 8 cdot cdots cdot(3n+2)n! = (n+1)(3n+5) :
an+1an = n+13n+5
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty n+13n+5 tende ao infinito:
L = limn to infty 1 + 1n3 + 5n = 1 + 03 + 0 = 13
Para resolver esse limite, dividimos numerador e denominador por :

Passo 6

Interpretando o resultado:
L = 13 < 1
Segundo o Teste da Razão, se , a série converge.

Resposta

A série converge.

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