Calcule as integrais:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas como a tangente (
) e a secante (
). Para resolver isso, vamos usar substituição e propriedades das funções trigonométricas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da tangente é a secante ao quadrado:
Isso sugere que podemos usar uma substituição onde
, já que isso simplifica a integral.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Agora, precisamos expressar
em termos de
.
Passo 5
Sabemos que
. Então,
pode ser escrito como:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos expandir
:
Multiplicando isso por
:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, somando tudo:
Passo 8
Agora, vamos substituir de volta
:
Podemos também expressar isso em termos de
se preferir, mas essa forma já resolve a integral.
Resposta
A integral de
é:
onde
é a constante de integração.