Calcule as integrais: integral tan ^3 x sec ^6 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas como a tangente ( ) e a secante ( ). Para resolver isso, vamos usar substituição e propriedades das funções trigonométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da tangente é a secante ao quadrado:
ddx (tan x) = sec^2 x
Isso sugere que podemos usar uma substituição onde , já que isso simplifica a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição du = sec^2 x , dx Rightarrow dx = dusec^2 x . Então, a derivada de em relação a é:
Agora, vamos reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo integral tan^3 x sec^6 x , dx = integral u^3 sec^6 x cdot dusec^2 x = integral u^3 sec^4 x , du e na integral original:
Agora, precisamos expressar em termos de .

Passo 5

Sabemos que sec^4 x = (sec^2 x)^2 = (1 + tan^2 x)^2 = (1 + u^2)^2 . Então, integral u^3 (1 + u^2)^2 , du pode ser escrito como:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos expandir (1 + u^2)^2 = 1 + 2u^2 + u^4 :
u^3 (1 + 2u^2 + u^4) = u^3 + 2u^5 + u^7
Multiplicando isso por integral (u^3 + 2u^5 + u^7) , du :
Então, a integral se torna:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^3 , du = u^44
integral 2u^5 , du = 2 cdot u^66 = u^63
integral u^7 , du = u^88
Então, somando tudo:
u^44 + u^63 + u^88 + C

Passo 8

Agora, vamos substituir de volta (tan x)^44 + (tan x)^63 + (tan x)^88 + C :
Podemos também expressar isso em termos de se preferir, mas essa forma já resolve a integral.

Resposta

A integral de tan^4 x4 + tan^6 x3 + tan^8 x8 + C é:
onde é a constante de integração.

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