Calcule as integrais duplas e triplas nas regiões dadas
integral triplaS1 e^-(x+y+z)3 d V
onde S1 é o primeiro octante (x >= 0, y >= 0, z >= 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral tripla da função sobre a região , que é o primeiro octante onde , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Ela serve para calcular o volume sob uma superfície em um espaço tridimensional. No nosso caso, a função vai nos dar a “altura” em cada ponto dentro do primeiro octante.

Passo 3

Vamos escrever a integral tripla de forma mais detalhada. Como estamos no primeiro octante, os limites de integração para integral triplaS1 e^-(x+y+z)3 , dV = integral0^infty integral0^infty integral0^infty e^-(x+y+z)3 , dx , dy , dz , e vão de 0 até o infinito. Assim, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos ver se conseguimos separar a integral. Observamos que a função exponencial pode ser fatorada:
e^-(x+y+z)3 = e^-x3 cdot e^-y3 cdot e^-z3
Isso significa que a integral tripla pode ser escrita como o produto de três integrais simples:
( integral0^infty e^-x3 , dx ) cdot ( integral0^infty e^-y3 , dy ) cdot ( integral0^infty e^-z3 , dz )

Passo 5

Vamos calcular uma dessas integrais simples, e as outras vão ser iguais por simetria. A integral de integral0^infty e^-kt , dt = 1k de 0 até infinito é uma integral exponencial básica. Sabemos que:
integral0^infty e^-x3 , dx = 113 = 3
No nosso caso, , então:

Passo 6

Como todas as três integrais são iguais a 3, o produto delas será:
3 cdot 3 cdot 3 = 27

Resposta

O valor da integral tripla é 27.

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