Calcule as integrais duplas e triplas nas regiões dadas
onde
é o primeiro octante
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral tripla da função
sobre a região
, que é o primeiro octante onde
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Ela serve para calcular o volume sob uma superfície em um espaço tridimensional. No nosso caso, a função
vai nos dar a “altura” em cada ponto
dentro do primeiro octante.
Passo 3
Vamos escrever a integral tripla de forma mais detalhada. Como estamos no primeiro octante, os limites de integração para
,
e
vão de 0 até o infinito. Assim, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, vamos ver se conseguimos separar a integral. Observamos que a função exponencial pode ser fatorada:
Isso significa que a integral tripla pode ser escrita como o produto de três integrais simples:
Passo 5
Vamos calcular uma dessas integrais simples, e as outras vão ser iguais por simetria. A integral de
de 0 até infinito é uma integral exponencial básica. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Como todas as três integrais são iguais a 3, o produto delas será:
Resposta
O valor da integral tripla é 27.