Calcule as integrais.
integral sen^6(x) cos ^3(x) d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral sen^6(x)cos^3(x),dx. Aqui caímos na categoria de integração de potências de funções trigonométricas. Quando um dos expoentes (neste caso o do cosseno) é ímpar, a sacada é fatorar um cos(x), usar a identidade cos^2(x)=1-sen^2(x) e, em seguida, fazer a substituição u=sen(x).

Passo 2

Começamos reescrevendo cos^3(x) como cos^2(x)cdotcos(x). Assim a integral vira
integral sen^6(x)cos^3(x),dx = integral sen^6(x),cos^2(x),cos(x),dx

Passo 3

Agora aplicamos a identidade trigonométrica cos^2(x)=1-sen^2(x). Então a expressão dentro da integral fica
sen^6(x)cos^2(x)cos(x) = sen^6(x)l(1-sen^2(x)r)cos(x) ,
o que leva a
integral sen^6(x)cos^2(x)cos(x),dx = integral sen^6(x)l(1-sen^2(x)r)cos(x),dx

Passo 4

Agora fazemos a substituição u=sen(x), de modo que du=cos(x),dx. A integral em x transforma-se em uma integral polinomial em u:
integral sen^6(x)l(1-sen^2(x)r)cos(x),dx = integral l(u^6 - u^8r),du

Passo 5

Integramos termo a termo no polinômio:
integral u^6,du = u^77, integral u^8,du = u^99
Logo a primitiva em u é
u^77 - u^99 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original usando u=sen(x). A antiderivada final é
sen^7(x)7 - sen^9(x)9 + C

Resposta

sen^7(x)7 - sen^9(x)9 + C

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