Calcule as seguintes integrais iteradas:
integral1^2 integral0^2 x x y^3 d y d x

Passo 1

Então, a gente tem uma integral dupla para resolver: integral1^2 integral0^2x x y^3 , dy , dx. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas ou iteradas. Vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis, integrando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é integral0^2x x y^3 , dy. Note que x é tratado como uma constante em relação a y, então podemos tirá-lo da integral: x integral0^2x y^3 , dy.

Passo 3

Agora, vamos integrar y^3 em relação a y. A integral de y^n é y^n+1n+1, então temos:
integral y^3 , dy = y^44

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a 2x, temos:
(2x)^44 - 0^44 = 16x^44 = 4x^4
Então, a integral interna fica x times 4x^4 = 4x^5.

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^2 4x^5 , dx
Vamos integrar 4x^5 em relação a x.

Passo 6

A integral de x^n é x^n+1n+1, então:
integral 4x^5 , dx = 4 times x^66 = 23x^6

Passo 7

Aplicando os limites de 1 a 2:
23(2)^6 - 23(1)^6 = 23(64 - 1) = 23 times 63 = 42

Resposta

O valor da integral dupla é 42.

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