Nos itens a seguir, decida qual técnica usar e depois calcule a integral.
integral x^2raiz1+x^2 d x

Passo 1

A integral dada é integral x^2raiz1+x^2,dx. O conteúdo principal envolve decompor o numerador para separar em integrais mais simples e usar substituição trigonométrica para resolver a integral com radical quadrático.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando x^2=(1+x^2)-1:
x^2raiz1+x^2=1+x^2raiz1+x^2-1raiz1+x^2=raiz1+x^2-1raiz1+x^2
Logo,
integral x^2raiz1+x^2,dx=integral raiz1+x^2,dx-integral 1raiz1+x^2,dx

Passo 3

Para calcular integral raiz1+x^2,dx, fazemos a substituição trigonométrica x=tantheta. Assim:
dx=sec^2theta,dtheta, raiz1+x^2=raiz1+tan^2theta=sectheta
A integral vira
integral secthetacdotsec^2theta,dtheta=integral sec^3theta,dtheta
Usando a fórmula conhecida
integral sec^3theta,dtheta=tfrac12l(secthetatantheta+ln|sectheta+tantheta|r)+C,
voltamos às variáveis originais com sectheta=raiz1+x^2 e tantheta=x. Então
integral raiz1+x^2,dx=tfrac12l(xraiz1+x^2+ln|x+raiz1+x^2|r)+C

Passo 4

A segunda integral é padrão:
integral 1raiz1+x^2,dx=arcsinh(x)+C= lnl(x+raiz1+x^2r)+C

Passo 5

Substituindo os resultados em
integral x^2raiz1+x^2,dx=integral raiz1+x^2,dx-integral 1raiz1+x^2,dx, temos
integral x^2raiz1+x^2,dx=tfrac12l(xraiz1+x^2+ln|x+raiz1+x^2|r)-lnl(x+raiz1+x^2r)+C
Simplificando o termo logarítmico:
tfrac12ln|x+raiz1+x^2|-ln|x+raiz1+x^2|=-tfrac12ln|x+raiz1+x^2|

Resposta

x2raiz1+x^2-tfrac12lnl(x+raiz1+x^2r)+C

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