Calcule as seguintes integrais iteradas:
integral1^4 integraly^2^y raizyx d x d y

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa integral iterada:
integral1^4 integraly^2^y raizyx , dx , dy
Matéria envolvida: Cálculo de integrais iteradas, especificamente integrais duplas com limites que dependem de uma variável.
O que vamos precisar: Entender como integrar com respeito a uma variável mantendo a outra constante e conhecer as regras básicas de integração, especialmente envolvendo raízes e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna:
integraly^2^y raizyx , dx
Teoria aplicada: Quando temos uma função dentro de uma integral que envolve duas variáveis, tratamos uma como constante na hora de integrar em relação à outra. Aqui, vamos considerar $ y $ como constante ao integrar em relação a $ x $.

Passo 3

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raizyx = raizy cdot 1raizx = raizy cdot x^-1/2
Teoria aplicada: Propriedades das raízes e potências permitem reescrever a expressão de forma mais fácil para integrar.

Passo 4

Agora, a integral interna fica:
integraly^2^y raizy cdot x^-1/2 , dx
Como $ \sqrt{y} $ é constante em relação a $ x $, podemos fatorá-la para fora:
raizy
Teoria aplicada: Propriedade da integral que permite tirar constantes para fora da integral.

Passo 5

Integrando $ x^{-1/2} $:
x^-1/2
Então, aplicando os limites $ y^{2} $ e $ y $:
integral x^-1/2 , dx = 2 x^1/2 + C = 2 raizx + C
Teoria aplicada: Regra fundamental do cálculo para avaliação de integrais definidas.

Passo 6

Simplificando dentro dos parênteses:
2 raizy - 2 cdot y = 2 raizy - 2 y
Multiplicando pela $ \sqrt{y} $:
raizy
Teoria aplicada: Propriedades das potências e multiplicação de termos semelhantes.

Passo 7

Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
integral1^4 ( 2 y - 2 y^3/2 ) , dy
Teoria aplicada: Após resolver a integral interna, passamos para a integração em relação à $ y $.

Passo 8

Integrando termo a termo:
integral 2 y , dy - integral 2 y^3/2 , dy = 2 cdot y^22 - 2 cdot 25 y^5/2 = y^2 - 45 y^5/2
Teoria aplicada: Regras de integração para polinômios.

Passo 9

Aplicando os limites de 1 a 4:
[ y^2 - 45 y^5/2 ]1^4 = ( 4^2 - 45 cdot 4^5/2 ) - ( 1^2 - 45 cdot 1^5/2 )
Teoria aplicada: Substituição dos valores dos limites na antiderivada.

Passo 10

Calculando cada parte:
Para $ y = 4 $:
y = 4
Para $ y = 1 $:
4^2 = 16 4^5/2 = (4^1/2)^5 = 2^5 = 32 Rightarrow 16 - 45 cdot 32 = 16 - 1285 = 805 - 1285 = -485
Teoria aplicada: Cálculo direto das potências e operações aritméticas.

Passo 11

Subtraindo os resultados:
-485 - 15 = -495
Teoria aplicada: Operação de subtração de frações com o mesmo denominador.

Resposta

O valor da integral iterada é -495.

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