Calcule as seguintes integrais iteradas:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa integral iterada:
Matéria envolvida: Cálculo de integrais iteradas, especificamente integrais duplas com limites que dependem de uma variável.
O que vamos precisar: Entender como integrar com respeito a uma variável mantendo a outra constante e conhecer as regras básicas de integração, especialmente envolvendo raízes e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna:
Teoria aplicada: Quando temos uma função dentro de uma integral que envolve duas variáveis, tratamos uma como constante na hora de integrar em relação à outra. Aqui, vamos considerar $ y $ como constante ao integrar em relação a $ x $.
Passo 3
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Teoria aplicada: Propriedades das raízes e potências permitem reescrever a expressão de forma mais fácil para integrar.
Passo 4
Agora, a integral interna fica:
Como $ \sqrt{y} $ é constante em relação a $ x $, podemos fatorá-la para fora:
Teoria aplicada: Propriedade da integral que permite tirar constantes para fora da integral.
Passo 5
Integrando $ x^{-1/2} $:
Então, aplicando os limites $ y^{2} $ e $ y $:
Teoria aplicada: Regra fundamental do cálculo para avaliação de integrais definidas.
Passo 6
Simplificando dentro dos parênteses:
Multiplicando pela $ \sqrt{y} $:
Teoria aplicada: Propriedades das potências e multiplicação de termos semelhantes.
Passo 7
Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
Teoria aplicada: Após resolver a integral interna, passamos para a integração em relação à $ y $.
Passo 8
Integrando termo a termo:
Teoria aplicada: Regras de integração para polinômios.
Passo 9
Aplicando os limites de 1 a 4:
Teoria aplicada: Substituição dos valores dos limites na antiderivada.
Passo 10
Calculando cada parte:
Para $ y = 4 $:
Para $ y = 1 $:
Teoria aplicada: Cálculo direto das potências e operações aritméticas.
Passo 11
Subtraindo os resultados:
Teoria aplicada: Operação de subtração de frações com o mesmo denominador.
Resposta
O valor da integral iterada é
.