Calcule as integrais:
integral-1^1 sen^3(x) cos ^3(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral-1^1 sin^3(x),cos^3(x),dx. O conteúdo principal é integração de funções pares e ímpares e vamos usar propriedades trigonométricas para simplificar o integrando.

Passo 2

Vamos reescrever sin^3(x)cos^3(x) em termos de sin(2x). Usando sin(x)cos(x)=tfrac12sin(2x), temos:
sin^3(x)cos^3(x)=l(sin(x)cos(x)r)^3=l(tfrac12sin(2x)r)^3=tfrac18sin^3(2x)

Passo 3

Observamos que a função f(x)=sin^3(2x) é ímpar, pois sin(2(-x))=-sin(2x) e, portanto, sin^3(2(-x))=-sin^3(2x). Logo, o integrando tfrac18sin^3(2x) também é ímpar.

Passo 4

Usando a propriedade de integrais em intervalos simétricos para funções ímpares:
integral-1^1 f(x),dx=0se f é ímpar, éí
concluímos que
integral-1^1sin^3(x)cos^3(x),dx=tfrac18integral-1^1sin^3(2x),dx=0

Resposta

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