Calcule as integrais:
integral sen^2 x sen(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral sin^2 x,sin(2x),dx. O conteúdo principal é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnica de substituição.

Passo 2

Observamos que sin(2x) pode ser escrito pela identidade de ângulo duplo:
sin(2x)=2,sin x,cos x
Logo, o integrando fica
sin^2 x,sin(2x)=sin^2 xcdot2,sin x,cos x=2,sin^3 x,cos x

Passo 3

Para facilitar, fazemos a substituição u=sin x. Assim,
du=cos x,dx
Então a integral transforma-se em
integral2,sin^3 x,cos x,dx=2integral u^3,du

Passo 4

Agora integramos diretamente em u:
2integral u^3,du=2cdotu^44=u^42+C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original usando u=sin x:
u^42+C=sin^4 x2+C

Resposta

sin^4 x2+C

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