A função densidade conjunta para um par de variáveis aleatórias X e Y é
Encontre f(x, y)=ll C x(1+y) & se 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2 0 & caso contrário .

Passo 1

Temos uma densidade conjunta f(x,y)=C·x(1+y) em 0≤x≤1 e 0≤y≤2, e queremos P(X+Y≤1). O conteúdo é probabilidade contínua: primeiro normalizar f (∫f=1) para achar C, depois calcular a probabilidade via integral dupla na região X+Y≤1.

Passo 2

Para achar C, resolvemos
integralx=0^1integraly=0^2 C,x(1+y),dy,dx = 1
A integral interna em y é 4x, e em x dá 2C. Assim 2C=1, logo C=1/2.

Passo 3

Para P(X+Y≤1), identificamos a região triangular: 0≤x≤1 e 0≤y≤1−x. Então
P(X+Y<=1)=integralx=0^1integraly=0^1-x 12,x(1+y),dy,dx

Passo 4

Para organizar a conta, definimos
I1=integral0^1 x(1-x),dx, I2=integral0^1 x(1-x)^2,dx
Calculando, I_1=1/6 e I_2=1/12.

Passo 5

Substituindo em P, ficamos com
P(X+Y<=1)=12l(I1+tfrac12I2r)=12l(16+124r)

Resposta

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