A função densidade conjunta para um par de variáveis aleatórias
e
é
Encontre
.
Passo 1
Temos uma densidade conjunta f(x,y)=C·x(1+y) em 0≤x≤1 e 0≤y≤2, e queremos P(X+Y≤1). O conteúdo é probabilidade contínua: primeiro normalizar f (∫f=1) para achar C, depois calcular a probabilidade via integral dupla na região X+Y≤1.
Passo 2
Para achar C, resolvemos
A integral interna em y é 4x, e em x dá 2C. Assim 2C=1, logo C=1/2.
Passo 3
Para P(X+Y≤1), identificamos a região triangular: 0≤x≤1 e 0≤y≤1−x. Então
Passo 4
Para organizar a conta, definimos
Calculando, I_1=1/6 e I_2=1/12.
Passo 5
Substituindo em P, ficamos com