A função densidade conjunta para um par de variáveis aleatórias X e Y é
Encontre f(x, y)=ll C x(1+y) & se 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2 0 & caso contrário .

Passo 1

O enunciado apresenta uma função densidade conjunta de duas v.a. contínuas X e Y:
f(x,y)=C,x,(1+y),&0<= x<=1,;0<= y<=2,0,&caso contrário á
Queremos calcular P(X<=1,,Y<=1). Para isso, vamos precisar primeiro determinar a constante de normalização C e depois integrar a densidade sobre a região 0<= x<=1,,0<= y<=1.

Passo 2

Para encontrar C, usamos que a integral dupla da densidade sobre todo o suporte deve ser igual a 1:
1=integralx=0^1integraly=0^2 C,x,(1+y),dy,dx
Começando pela integral em y:
integral0^2(1+y),dy=l[y+tfracy^22r]0^2=2+2=4
Então
1=Cintegral0^1xcdot4,dx=4Cintegral0^1x,dx=4Ccdottfrac12=2C
Logo C=tfrac12.

Passo 3

Agora calculamos
P(X<=1,,Y<=1)=integralx=0^1integraly=0^1tfrac12,x,(1+y),dy,dx
De novo, integramos primeiro em y:
integral0^1(1+y),dy=l[y+tfracy^22r]0^1=1+tfrac12=tfrac32
Então
P=tfrac12integral0^1xcdottfrac32,dx=tfrac34integral0^1x,dx=tfrac34cdottfrac12=tfrac38

Resposta

tfrac38

Exercícios relacionados