Verifique que
é uma função densidade conjunta.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x,y)=4xy se 0<= x<=1 e 0<= y<=1, e zero caso contrário. O objetivo é verificar que essa função é uma densidade conjunta, ou seja, que f(x,y)>=0 e integral dupla R^2f(x,y),dx,dy=1.

Passo 2

Verificação de não-negatividade: dentro do quadrado [0,1]times[0,1] temos 4xy>=0 e fora dele f=0. Portanto, f(x,y)>=0 em todo o plano.

Passo 3

Como f só é não nula no quadrado [0,1]times[0,1], a integral total se reduz a
integral-infty^inftyintegral-infty^infty f(x,y),dy,dx = integral0^1integral0^14xy ,dy,dx

Passo 4

Cálculo da integral interna em y:
integral0^14x,y,dy = 4xintegral0^1y,dy = 4x[y^22]0^1 = 2x

Passo 5

Cálculo da integral externa em x:
integral0^12x,dx = 2integral0^1x,dx = 2[x^22]0^1 = 1

Passo 6

Conclusão: a integral dupla de f sobre R^2 é 1 e já mostramos que f>=0, logo f é uma função densidade conjunta.

Resposta

f(x,y) é função densidade conjunta pois f(x,y)≥0 e integral0^1integral0^14xy,dy,dx=1.

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