Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=0^+infty (-2)^k x^k+1k+1

Passo 1

Estamos com a série de potências
sumk=0^infty (-2)^k x^k+1k+1
O conteúdo é teste de convergência de séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência.

Passo 2

Seja ak = (-2)^k x^k+1k+1. Aplicando o teste da razão, calculamos
limktoinfty |ak+1ak| = limktoinfty |(-2)^k+1x^k+2k+2 cdot k+1(-2)^k x^k+1| = limktoinfty 2|x| k+1k+2 = 2|x|
Para convergir, precisamos de 2|x|<1.

Passo 3

Logo o raio de convergência é
R = 12

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Para x=tfrac12 a série vira
sumk=0^infty (-2)^k (tfrac12)^k+1k+1 = 12 sumk=0^infty (-1)^kk+1,
o que é a série alternada de Leibniz, que converge.

Passo 5

Para x=-tfrac12 a série fica
sumk=0^infty (-2)^k (-tfrac12)^k+1k+1 = -12 sumk=0^infty 1k+1,
que é múltiplo da série harmônica divergente, logo diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=\frac12 e o intervalo de convergência é (-\tfrac12,;\tfrac12].

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