Calcule as integrais
integral t e^-3 t d t

Passo 1

No enunciado, temos que calcular a integral indefinida integral t,e^-3t,dt. O conteúdo principal aqui é integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos as partes de forma a simplificar o cálculo: u = t (pois sua derivada é simples) e dv = e^-3t,dt. Assim temos du = dt e precisamos achar v = integral e^-3t,dt.

Passo 3

Para encontrar v, calculamos a integral:
integral e^-3t,dt = -13e^-3t + C1
Desconsideramos a constante intermediária, ficando v = -tfrac13e^-3t.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral t,e^-3t,dt = u,v - integral v,du = tl(-tfrac13e^-3tr) - integrall(-tfrac13e^-3tr),dt
Isso resulta em
-t3e^-3t + 13integral e^-3t,dt

Passo 5

Falta só a integral remanescente. Já sabemos que
integral e^-3t,dt = -13e^-3t + C2
Logo,
13integral e^-3t,dt = 13l(-13e^-3tr) = -19e^-3t
Substituindo de volta, a resposta final é:
-t3e^-3t - 19e^-3t + C

Resposta

-\frac{t}{3}e^{-3t} - \frac{1}{9}e^{-3t} + C

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