Considere a superfície
união de
e
, onde
tem a equação
, com
e
é o gráfico da função
, definida no conjunto
, onde
.
Esboce a superfície
.
Esboce a superfície
Passo 1
O enunciado nos pede para esboçar a superfície S que é a união de duas peças: de um lado, S₁ é o cilindro de raio 2 dado por
com 0 ≤ z ≤ 2; de outro, S₂ é o gráfico do paraboloide
para todos os (x,y) tais que x²+y² ≤ 5.
Passo 2
Vamos começar desenhando S₂, o paraboloide. É um “bowl” (tigela) que se abre para cima, com vértice na origem. Sobre a circunferência de raio √5 no plano xy ele atinge z = 5. No esboço, marque curvas de nível (círculos) para z = 1, 2, 3, 4, 5, sempre crescendo de raio √z.
Agora desenhe S₁, o cilindro de raio 2. No plano xy é um círculo de raio 2, e ele se estende verticalmente de z = 0 até z = 2. No esboço, represente-o como linhas retas verticais ao redor do círculo de raio 2.
Agora desenhe S₁, o cilindro de raio 2. No plano xy é um círculo de raio 2, e ele se estende verticalmente de z = 0 até z = 2. No esboço, represente-o como linhas retas verticais ao redor do círculo de raio 2.
Passo 3
Compare onde S₁ e S₂ se encontram na projeção ao plano xy: ambas têm raio 2 em comum. Mas note que no paraboloide, em r = 2 temos z = 4, enquanto o cilindro vai só até z = 2. Ou seja, a superfície cilíndrica fica inteiramente abaixo do paraboloide nessa curva de interseção projetada.
Passo 4
Por fim, a união S é dada pela parte do paraboloide para r ≤ √5 e pela casca cilíndrica para r = 2, 0 ≤ z ≤ 2. No esboço final, pinte a tigela paraboloidal e acrescente o “tubo” cilíndrico interno até z = 2, mostrando claramente as duas peças.
Resposta
O esboço mostra um paraboloide aberto para cima (z = x² + y²) até o círculo de raio √5 no plano xy e, dentro dele, um tubo cilíndrico vertical de raio 2 estendendo-se de z = 0 até z = 2. A união dessas duas superfícies é a superfície S.