Considere a superfície S união de S1 e S2, onde S1 tem a equação x^2+y^2=4, com 0 <= z <= 2 e S2 é o gráfico da função z=x^2+y^2, definida no conjunto D, onde D=(x, y) in R^2 / x^2+y^2 <= 5.
Esboce a superfície S.

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar a superfície S que é a união de duas peças: de um lado, S₁ é o cilindro de raio 2 dado por
x^2 + y^2 = 4,
com 0 ≤ z ≤ 2; de outro, S₂ é o gráfico do paraboloide
z = x^2 + y^2
para todos os (x,y) tais que x²+y² ≤ 5.

Passo 2

Vamos começar desenhando S₂, o paraboloide. É um “bowl” (tigela) que se abre para cima, com vértice na origem. Sobre a circunferência de raio √5 no plano xy ele atinge z = 5. No esboço, marque curvas de nível (círculos) para z = 1, 2, 3, 4, 5, sempre crescendo de raio √z.
Agora desenhe S₁, o cilindro de raio 2. No plano xy é um círculo de raio 2, e ele se estende verticalmente de z = 0 até z = 2. No esboço, represente-o como linhas retas verticais ao redor do círculo de raio 2.

Passo 3

Compare onde S₁ e S₂ se encontram na projeção ao plano xy: ambas têm raio 2 em comum. Mas note que no paraboloide, em r = 2 temos z = 4, enquanto o cilindro vai só até z = 2. Ou seja, a superfície cilíndrica fica inteiramente abaixo do paraboloide nessa curva de interseção projetada.

Passo 4

Por fim, a união S é dada pela parte do paraboloide para r ≤ √5 e pela casca cilíndrica para r = 2, 0 ≤ z ≤ 2. No esboço final, pinte a tigela paraboloidal e acrescente o “tubo” cilíndrico interno até z = 2, mostrando claramente as duas peças.

Resposta

O esboço mostra um paraboloide aberto para cima (z = x² + y²) até o círculo de raio √5 no plano xy e, dentro dele, um tubo cilíndrico vertical de raio 2 estendendo-se de z = 0 até z = 2. A união dessas duas superfícies é a superfície S.

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