Esboce a superfície definida por
e
. Boa Sorte.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer esboçar as superfícies definidas por $ z = 2 + \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e $ z = 8 - x^{2} - y^{2} $. Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente no estudo de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender o formato dessas superfícies e encontrar onde elas se intersectam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada equação separadamente para entender que tipo de superfície cada uma representa.
A primeira equação é $ z = 2 + \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Isso se parece com a equação de um cone, mas com um deslocamento no eixo z. A presença da raiz quadrada indica que, para cada ponto (x, y), z aumenta conforme a distância do ponto até a origem no plano xy.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda equação: $ z = 8 - x^{2} - y^{2} $. Essa é a equação de um paraboloide concavo para baixo. Ele tem seu vértice no ponto (0, 0, 8) e desce à medida que nos afastamos do centro no plano xy.
Passo 4
Para encontrar onde essas duas superfícies se intersectam, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre x e y na interseção.
Passo 5
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Expandindo o lado direito:
Agora, vamos reorganizar todos os termos para um lado da equação:
Essa é uma equação complexa, mas podemos notar que a interseção ocorre quando $ x = y = 0 $. Portanto, a interseção acontece no ponto (0, 0, 2 + 0) = (0, 0, 2).
Passo 7
Com essa informação, podemos esboçar as duas superfícies:
- $ z = 2 + \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ é uma superfície que se eleva a partir de z = 2, formando uma espécie de cone com vértice deslocado.
- $ z = 8 - x^{2} - y^{2} $ é um paraboloide que desce a partir de z = 8.
A interseção dessas duas superfícies ocorre no ponto (0, 0, 2). Então, ao esboçar, você terá um cone se elevando e um paraboloide descendo, tocando-se nesse ponto específico.
Resposta
As superfícies definidas por $ z = 2 + \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e $ z = 8 - x^{2} - y^{2} $ se intersectam no ponto (0, 0, 2). O esboço mostra um cone elevado a partir de z = 2 e um paraboloide descendo a partir de z = 8, tocando-se nesse ponto de interseção.