Calcule as integrais:
integral tan x raiz[3]sec x d x

Passo 1

A integral é integral tan x raiz[3]sec x,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição (u-substitution) e vamos usar a relação entre derivada de sec x e tan x.

Passo 2

Reescrevendo a função como potência de sec x:
integral tan x l(sec xr)^1/3,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = sec x
então
du = sec x tan x,dx Longrightarrow tan x,dx = dusec x = u^-1 du

Passo 4

Substituindo na integral:
integral l(sec xr)^1/3tan x,dx = integral u^1/3cdot u^-1,du = integral u^-2/3,du

Passo 5

Aplicando a regra de potência integral u^m du = u^m+1/(m+1) com m=-2/3:
integral u^-2/3,du = u^(-2/3)+1(-2/3)+1 + C = u^1/31/3 + C = 3u^1/3 + C

Passo 6

Voltando a variável x:
3u^1/3 + C = 3l(sec xr)^1/3 + C

Resposta

3raiz[3]sec x+C

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