Calcule as integrais:
integral tan ^3 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral tan^3(3x),dx. Estamos em um tópico de integração de potências de funções trigonométricas e vamos usar a identidade tan^2u=sec^2u-1 e substituições adequadas.

Passo 2

Reescrevemos tan^3(3x) como tan(3x)l(sec^2(3x)-1r) e separamos a integral em
integral tan(3x)sec^2(3x),dx ;- integral tan(3x),dx

Passo 3

Para calcular integral tan(3x)sec^2(3x),dx, fazemos a substituição u=tan(3x). Então du=3sec^2(3x),dx, ou seja, sec^2(3x),dx=tfracdu3. A integral vira
integral udu3=13cdotu^22=u^26

Passo 4

Para calcular integral tan(3x),dx, fazemos a substituição w=3x. Assim dw=3,dx, isto é, dx=tfracdw3. Temos
integral tan(3x),dx=13integral tan(w),dw=-13lnl|cos(w)r|=-13lnl|cos(3x)r|newline

Passo 5

Agora basta somar o resultado da primeira integral com o negativo da segunda e acrescentar a constante de integração C.

Resposta

16tan^2(3x)+13lnl|cos(3x)r|+C

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