Coloque a equação diferencial homogênea
na forma descrita no Problema 31.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você trouxe uma equação diferencial que é homogênea. Isso significa que podemos simplificar usando algumas técnicas específicas. A equação que temos é:
Vamos precisar usar a substituição para equações homogêneas, onde colocamos
. Essa substituição ajuda a transformar a equação em uma forma mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Isso significa que
. Vamos substituir
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos distribuir e simplificar os termos:
Combinando os termos com
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos dividir toda a equação por
para simplificar ainda mais:
Simplificando:
Passo 5
Rearranjando a equação para separar as variáveis:
Fatorando
:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo:
A integração do lado esquerdo fica:
E do lado direito:
Passo 7
Igualando as integrais e simplificando as constantes:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A equação diferencial homogênea foi colocada na forma desejada: