Coloque a equação diferencial homogênea
(5x^2 - 2y^2) dx - xy dy = 0
na forma descrita no Problema 31.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você trouxe uma equação diferencial que é homogênea. Isso significa que podemos simplificar usando algumas técnicas específicas. A equação que temos é:
Vamos precisar usar a substituição para equações homogêneas, onde colocamos . Essa substituição ajuda a transformar a equação em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que . Vamos substituir e na equação original:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos distribuir e simplificar os termos:
Combinando os termos com :
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos dividir toda a equação por para simplificar ainda mais:
Simplificando:

Passo 5

Rearranjando a equação para separar as variáveis:
Fatorando :

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo:
A integração do lado esquerdo fica:
E do lado direito:

Passo 7

Igualando as integrais e simplificando as constantes:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A equação diferencial homogênea foi colocada na forma desejada:

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