Calcule as integrais: integral cos (4 x) cos (-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de cos(4x) cdot cos(-x) em relação a x. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar o produto de cossenos antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno é uma função par, ou seja, cos(-x) = cos(x). Então, podemos simplificar a expressão dentro da integral:
cos(4x) cdot cos(-x) = cos(4x) cdot cos(x)

Passo 3

Agora, para simplificar o produto de dois cossenos, podemos usar a identidade trigonométrica:
cos(A) cdot cos(B) = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)]
Aqui, A = 4x e B = x. Vamos aplicar essa identidade:
cos(4x) cdot cos(x) = 12 [cos(4x + x) + cos(4x - x)] = 12 [cos(5x) + cos(3x)]

Passo 4

Com essa simplificação, nossa integral fica:
integral cos(4x) cdot cos(x) , dx = 12 integral [cos(5x) + cos(3x)] , dx
Agora, podemos separar a integral:
12 ( integral cos(5x) , dx + integral cos(3x) , dx )

Passo 5

Vamos lembrar que a integral de cos(kx) em relação a x é:
integral cos(kx) , dx = sin(kx)k + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando essa fórmula às integrais que temos:
12 ( sin(5x)5 + sin(3x)3 ) + C

Resposta

Portanto, a integral de cos(4x) cdot cos(-x) , dx é:
sin(5x)10 + sin(3x)6 + C

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