Calcule as integrais:
integral tan ^5 x sec ^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral tan^5 x,sec^3 x,dx. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando substituição. Vamos usar a derivada de sec x que gera um produto sec xtan x.

Passo 2

Para aproveitar du=sec xtan x,dx, escrevemos o integrando de forma a isolar esse termo. Observando que
tan^5 x,sec^3 x=tan^4 x,sec^2 xcdot(sec xtan x), podemos reescrever
integral tan^5 x,sec^3 x,dx=integral tan^4 x,sec^2 x,(sec xtan x,dx)

Passo 3

Fazendo a substituição u=sec x, temos du=sec xtan x,dx. Assim a integral vira
integral tan^4 x,sec^2 x,du

Passo 4

Usamos a identidade tan^2 x=sec^2 x-1 para reescrever tan^4 x=(sec^2 x-1)^2. Logo,
tan^4 x,sec^2 x=(sec^2 x-1)^2,sec^2 x

Passo 5

Em termos de u, como sec^2 x=u^2, a integral se torna
integral (u^2-1)^2,u^2,du=integral (u^6-2u^4+u^2),du que se integra termo a termo: integral u^6du=tfracu^77, integral u^4du=tfracu^55 e integral u^2du=tfracu^33.

Passo 6

Portanto, após a integração, obtemos
u^77-2u^55+u^33+C
Voltando a u=sec x, a resposta final fica:

Resposta

sec^7 x7-2sec^5 x5+sec^3 x3+C

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