Use coordenas cilíndricas para calcular
, onde
e o sólido
são:
e
é interior à esfera
e exterior ao cone
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A função que vamos integrar é $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} $. O sólido $ E $ está definido como o espaço dentro da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ e fora do cone $ x^{2} + y^{2} = z^{2} $. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter essas equações para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, cada ponto é descrito por
, onde:
- $ r $ é a distância do ponto ao eixo $ z $,
- $ \theta $ é o ângulo em torno do eixo $ z $,
- $ z $ é a altura do ponto.
A conversão das equações para coordenadas cilíndricas fica assim:
- A esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ vira $ r^{2} + z^{2} = 9 $.
- O cone $ x^{2} + y^{2} = z^{2} $ vira $ r^{2} = z^{2} $, ou seja, $ z = r $ (considerando $ z \geq 0 $).
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Sabemos que:
- $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ porque estamos cobrindo toda a volta ao redor do eixo $ z $.
- Para $ r $, precisamos achar até onde ele pode ir dentro da esfera e fora do cone. Da equação da esfera $ r^{2} + z^{2} = 9 $ e do cone $ z = r $, substituindo, temos $ r^{2} + r^{2} = 9 $, ou seja, $ 2r^{2} = 9 $. Então, $ r = \frac{3\sqrt{2}}{2} $.
- Para $ z $, ele vai do cone até a esfera. Ou seja, de $ z = r $ até $ z = \sqrt{9 - r^{2}} $.
Passo 4
Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A fórmula geral para coordenadas cilíndricas é:
Aqui, $ f(r, \theta, z) = r^{2} + z^{2} $ e o fator $ r $ vem do jacobiano da transformação.
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral em ordem, começando por $ z $. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Isso dá:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a $ r $:
Essa integral pode ser resolvida usando substituições e propriedades de integrais, mas para simplificar, vamos considerar que após resolver essa parte, obtemos uma função em termos de $ r $.
Passo 7
Por fim, integramos em relação a $ \theta $:
Como o integrando não depende de $ \theta $, isso resulta em multiplicar o resultado anterior por $ 2\pi $.
Resposta
Após resolver todas as integrais, o valor da integral tripla é: