Mostre que cada um dos conjuntos dados nos Exercs. 21 a 26 é uma reta. Faça os respectivos gráficos.
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Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente tem a equação $ |z - 1 + i| = |1 - i\sqrt{3} + z| $, e precisamos mostrar que o conjunto de todos os números complexos $ z $ que satisfazem essa equação forma uma reta no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar saber como trabalhar com números complexos e entender a geometria associada a eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo $ z $ pode ser escrito como $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais que representam as coordenadas no plano. Vamos substituir $ z $ por $ x + iy $ na equação:
Passo 3
Agora, vamos simplificar as expressões dentro dos valores absolutos (módulos). Para o lado esquerdo:
E para o lado direito:
Passo 4
O módulo de um número complexo $ a + ib $ é dado por $ \sqrt{a^2 + b^2} $. Então, vamos calcular os módulos de cada lado:
Passo 5
Agora, igualamos os dois módulos:
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Vamos expandir os termos ao quadrado:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos cancelar os termos semelhantes dos dois lados da equação:
Passo 8
Vamos reunir os termos com $ x $ e $ y $ de um lado e os constantes do outro:
Passo 9
Isolando $ y $ em função de $ x $:
Passo 10
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por $ 1 - \sqrt{3} $:
Simplificando:
Passo 11
Essa é a equação da reta no plano $ xy $. Podemos também escrever na forma padrão $ Ax + By + C = 0 $. Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Resposta
A solução do conjunto $ |z - 1 + i| = |1 - i\sqrt{3} + z| $ é a reta definida pela equação:
Esse é o gráfico da reta no plano complexo.