Mostre que cada um dos conjuntos dados nos Exercs. 21 a 26 é uma reta. Faça os respectivos gráficos.
|z-1+i|=|1-i raiz3+z|.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente tem a equação $ |z - 1 + i| = |1 - i\sqrt{3} + z| $, e precisamos mostrar que o conjunto de todos os números complexos $ z $ que satisfazem essa equação forma uma reta no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar saber como trabalhar com números complexos e entender a geometria associada a eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo $ z $ pode ser escrito como $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais que representam as coordenadas no plano. Vamos substituir $ z $ por $ x + iy $ na equação:
z

Passo 3

Agora, vamos simplificar as expressões dentro dos valores absolutos (módulos). Para o lado esquerdo:
(x + iy) - 1 + i = (x - 1) + i(y + 1)
E para o lado direito:
1 - iraiz3 + (x + iy) = (x + 1) + i(y - raiz3)

Passo 4

O módulo de um número complexo $ a + ib $ é dado por $ \sqrt{a^2 + b^2} $. Então, vamos calcular os módulos de cada lado:
a + ib
raiza^2 + b^2

Passo 5

Agora, igualamos os dois módulos:
raiz(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = raiz(x + 1)^2 + (y - raiz3)^2
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = (x + 1)^2 + (y - raiz3)^2

Passo 6

Vamos expandir os termos ao quadrado:
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2yraiz3 + 3)
Simplificando:
x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2yraiz3 + 3

Passo 7

Agora, vamos cancelar os termos semelhantes dos dois lados da equação:
-2x + 2y + 2 = 2x - 2yraiz3 + 4

Passo 8

Vamos reunir os termos com $ x $ e $ y $ de um lado e os constantes do outro:
x
y

Passo 9

Isolando $ y $ em função de $ x $:
y
x

Passo 10

Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por $ 1 - \sqrt{3} $:
1 - raiz3
Simplificando:
y = (2x + 1)(1 - raiz3)(1 + raiz3)(1 - raiz3) = (2x + 1)(1 - raiz3)1 - 3 = (2x + 1)(1 - raiz3)-2

Passo 11

Essa é a equação da reta no plano $ xy $. Podemos também escrever na forma padrão $ Ax + By + C = 0 $. Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
xy
Ax + By + C = 0

Resposta

A solução do conjunto $ |z - 1 + i| = |1 - i\sqrt{3} + z| $ é a reta definida pela equação:
|z - 1 + i| = |1 - iraiz3 + z|
Esse é o gráfico da reta no plano complexo.

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