Calcule as integrais
onde W é o solido delimitado pela esfera de raio 4 centrada na origem e pelos cones
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla:
onde $ W $ é o sólido limitado por uma esfera de raio 4 centrada na origem e por dois cones dados por $ z = \sqrt{3(x{2}+y{2})} $ e $ z = \sqrt{\frac{x{2}+y{2}}{3}} $. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, já que a região $ W $ e o integrando têm simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
- $ r $: a distância da origem até o ponto.
- $ \theta $: o ângulo polar, que é o ângulo entre o eixo $ z $ e a linha que liga a origem ao ponto.
- $ \phi $: o ângulo azimutal, que é o ângulo no plano $ xy $ a partir do eixo $ x $.
A relação entre coordenadas cartesianas $ (x, y, z) $ e esféricas $ (r, \theta, \phi) $ é dada por:
Passo 3
Vamos reescrever os limites do sólido $ W $ em coordenadas esféricas.
-
Esfera de raio 4:A equação da esfera é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16 $, que em coordenadas esféricas se simplifica para $ r = 4 $.
-
Cone $ z = \sqrt{3(x{2}+y{2})} $:Substituindo $ z = r \cos\theta $ e $ \sqrt{x{2}+y{2}} = r \sin\theta $, temos:
-
Cone $ z = \sqrt{\frac{x{2}+y{2}}{3}} $:De maneira similar:
Então, os limites para $ \theta $ são de $ \frac{\pi}{6} $ a $ \frac{\pi}{3} $.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral em coordenadas esféricas. A integral tripla em coordenadas esféricas é dada por:
No nosso caso, $ f(r, \theta, \phi) = e{r{3}} $. Assim, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral em $ r $ primeiro. Observamos que:
Fazendo a substituição $ u = r^{3} $, temos $ du = 3r^{2} dr $, ou seja, $ r^{2} dr = \frac{du}{3} $. Assim, a integral se torna:
Passo 6
Agora, vamos integrar em $ \theta $ e $ \phi $. A integral restante é:
Primeiro, integramos em $ \theta $:
Em seguida, integramos em $ \phi $:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Resposta
Assim, o valor da integral é: