Calcule as integrais
integral triplaW e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d x d y d z onde W é o solido delimitado pela esfera de raio 4 centrada na origem e pelos cones z=raiz3(x^2+y^2) e z=raizx^2+y^23

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla:
integral triplaW e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 , dx , dy , dz
onde $ W $ é o sólido limitado por uma esfera de raio 4 centrada na origem e por dois cones dados por $ z = \sqrt{3(x{2}+y{2})} $ e $ z = \sqrt{\frac{x{2}+y{2}}{3}} $. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, já que a região $ W $ e o integrando têm simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
  • $ r $: a distância da origem até o ponto.
  • $ \theta $: o ângulo polar, que é o ângulo entre o eixo $ z $ e a linha que liga a origem ao ponto.
  • $ \phi $: o ângulo azimutal, que é o ângulo no plano $ xy $ a partir do eixo $ x $.
A relação entre coordenadas cartesianas $ (x, y, z) $ e esféricas $ (r, \theta, \phi) $ é dada por:
r
theta
z

Passo 3

Vamos reescrever os limites do sólido $ W $ em coordenadas esféricas.
  1. Esfera de raio 4:
    A equação da esfera é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16 $, que em coordenadas esféricas se simplifica para $ r = 4 $.
  2. Cone $ z = \sqrt{3(x{2}+y{2})} $:
    Substituindo $ z = r \cos\theta $ e $ \sqrt{x{2}+y{2}} = r \sin\theta $, temos:
    W
  3. Cone $ z = \sqrt{\frac{x{2}+y{2}}{3}} $:
    De maneira similar:
    x^2 + y^2 + z^2 = 16
Então, os limites para $ \theta $ são de $ \frac{\pi}{6} $ a $ \frac{\pi}{3} $.

Passo 4

Agora, vamos montar a integral em coordenadas esféricas. A integral tripla em coordenadas esféricas é dada por:
integral triplaW f(r, theta, phi) , r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
No nosso caso, $ f(r, \theta, \phi) = e{r{3}} $. Assim, a integral fica:
f(r, theta, phi) = e^r^3

Passo 5

Vamos resolver a integral em $ r $ primeiro. Observamos que:
r
Fazendo a substituição $ u = r^{3} $, temos $ du = 3r^{2} dr $, ou seja, $ r^{2} dr = \frac{du}{3} $. Assim, a integral se torna:
integral0^4 e^r^3 cdot r^2 , dr

Passo 6

Agora, vamos integrar em $ \theta $ e $ \phi $. A integral restante é:
theta
Primeiro, integramos em $ \theta $:
phi
integral0^2pi integralpi6^pi3 sintheta , dtheta , dphi
Em seguida, integramos em $ \phi $:
theta

Passo 7

Agora, juntando tudo:
Integral Total = 13 ( e^64 - 1 ) cdot raiz3 - 12 cdot 2pi
Simplificando:
= 13 ( e^64 - 1 ) cdot (raiz3 - 1) cdot pi

Resposta

Assim, o valor da integral é:
pi (raiz3 - 1)3 ( e^64 - 1 )

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