Use integral múltipla para determinar o volume do solido limitado
Pelos planos
e pelo cilindro
Pelos planos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o volume de um sólido delimitado pelos planos $ z = 0 $, $ y = 0 $, $ z = x $ e pelo cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $. Vamos usar integrais múltiplas para achar esse volume. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e escolher o sistema de coordenadas adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $ é um cilindro circular de raio 3, centrado no eixo z. Os planos $ z = 0 $ e $ z = x $ cortam esse cilindro, e $ y = 0 $ é o plano xy. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $ e $ z = z $. Nesse sistema, o cilindro fica simplesmente $ r = 3 $.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, o volume pode ser calculado pela integral tripla:
Aqui, o fator $ r $ é o jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas. Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \theta $, $ r $ e $ z $.
Passo 4
Vamos definir os limites para $ \theta $. Como o sólido está limitado pelo plano $ y = 0 $, que em coordenadas cilíndricas corresponde a $ \theta = 0 $, e considerando a simetria do cilindro, $ \theta $ varia de 0 a $ \pi $ (meia volta) para cobrir toda a região onde $ y \geq 0 $.
Para $ r $, como o cilindro é $ r = 3 $, $ r $ varia de 0 a 3.
Passo 5
Agora, vamos definir os limites para $ z $. O sólido está abaixo do plano $ z = x $. Em coordenadas cilíndricas, $ x = r\cos\theta $. Assim, $ z $ varia de 0 (no plano $ z = 0 $) até $ z = r\cos\theta $.
Passo 6
Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a $ r $:
A integral agora é:
Passo 9
Por fim, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
O volume do sólido é igual a $ 0 $. Isso ocorre porque, considerando os limites dados, a região integrada resulta em uma área nula.