Use integral múltipla para determinar o volume do solido limitado
Pelos planos coordenados e pelo plano 2 x+3 y+z=12 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que está limitado pelos planos coordenados (ou seja, os planos $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $) e pelo plano $ 2x + 3y + z = 12 $ no primeiro octante (onde $ x $, $ y $ e $ z $ são todos positivos). Para resolver isso, vamos usar integrais múltiplas, que são ferramentas matemáticas usadas para calcular volumes de regiões no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o plano $ 2x + 3y + z = 12 $. Esse plano intercepta os eixos $ x $, $ y $ e $ z $ nos pontos onde as outras duas coordenadas são zero:
  • Para $ x $: Quando $ y = 0 $ e $ z = 0 $, temos $ 2x = 12 $ 2x + 3y + z = 12 $ x = 6 $. Então, o ponto de interseção no eixo $ x $ é $ (6, 0, 0) $.
  • Para $ y $: Quando $ x = 0 $ e $ z = 0 $, temos $ 3y = 12 $ x $ y = 4 $. Então, o ponto de interseção no eixo $ y $ é $ (0, 4, 0) $.
  • Para $ z $: Quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $, temos $ z = 12 $. Então, o ponto de interseção no eixo $ z $ é $ (0, 0, 12) $.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para as variáveis $ x $, $ y $ e $ z $. Vamos integrar na ordem $ z $, depois $ y $, e por último $ x $:
  1. Para $ z $: Vai de 0 até o plano, ou seja, $ z = 12 - 2x - 3y $.
  2. Para $ y $: Vai de 0 até o ponto onde o plano intersecta o eixo $ y $, que depende de $ x $, então de 0 até $ y = \frac{12 - 2x}{3} $.
  3. Para $ x $: Vai de 0 até o ponto onde o plano intersecta o eixo $ x $, ou seja, de 0 até 6.

Passo 4

Vamos montar a integral tripla para calcular o volume $ V $:
V
Primeiro, integramos em relação a $ z $:
V = integral0^6 integral0^12 - 2x3 integral0^12 - 2x - 3y dz, dy, dx
Agora, a integral fica:
z

Passo 5

Vamos integrar em relação a $ y $:
y
Primeiro, separamos a integral:
integral0^12 - 2x3 (12 - 2x - 3y) , dy
Calculando cada parte:
  1. integral0^12 - 2x3 12 , dy - 2x integral0^12 - 2x3 dy - 3 integral0^12 - 2x3 y , dy
  2. integral 12 , dy = 12y |0^12 - 2x3 = 12 cdot 12 - 2x3 = 4(12 - 2x) = 48 - 8x, então $ -2x \cdot \frac{12 - 2x}{3} = -\frac{24x - 4x^2}{3}$
  3. integral dy = y |0^12 - 2x3 = 12 - 2x3, então $ -3 \cdot \frac{(12 - 2x)^2}{18} = -\frac{(12 - 2x)^2}{6} $
Juntando tudo:
-2x cdot 12 - 2x3 = -24x - 4x^23

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão e integramos em relação a $ x $:
x
Para simplificar, calculamos cada termo:
  1. V = integral0^6 (48 - 8x - 24x - 4x^23 - (12 - 2x)^26) dx permanece.
  2. 48 - 8x
  3. $ (12 - 2x)^2 = 144 - 48x + 4x^2 $, então -24x - 4x^23 = -8x + 4x^23
Juntando todos os termos:
(12 - 2x)^2 = 144 - 48x + 4x^2
Agora, a integral fica:
-144 - 48x + 4x^26 = -24 + 8x - 2x^23
Integrando termo a termo:
48 - 8x - 8x + 4x^23 - 24 + 8x - 2x^23 = 24 - 8x + 2x^23
Substituindo $ x = 6 $:
V = integral0^6 (24 - 8x + 2x^23) dx
E para $ x = 0 $, tudo é zero.

Resposta

O volume do sólido é 48 unidades cúbicas.

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