Use integral múltipla para determinar o volume do solido limitado
Pelos planos coordenados e pelo plano
no primeiro octante.
Pelos planos coordenados e pelo plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que está limitado pelos planos coordenados (ou seja, os planos $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $) e pelo plano $ 2x + 3y + z = 12 $ no primeiro octante (onde $ x $, $ y $ e $ z $ são todos positivos). Para resolver isso, vamos usar integrais múltiplas, que são ferramentas matemáticas usadas para calcular volumes de regiões no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o plano $ 2x + 3y + z = 12 $. Esse plano intercepta os eixos $ x $, $ y $ e $ z $ nos pontos onde as outras duas coordenadas são zero:
- Para $ x $: Quando $ y = 0 $ e $ z = 0 $, temos $ 2x = 12 $
$ x = 6 $. Então, o ponto de interseção no eixo $ x $ é $ (6, 0, 0) $. - Para $ y $: Quando $ x = 0 $ e $ z = 0 $, temos $ 3y = 12 $
$ y = 4 $. Então, o ponto de interseção no eixo $ y $ é $ (0, 4, 0) $. - Para $ z $: Quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $, temos $ z = 12 $. Então, o ponto de interseção no eixo $ z $ é $ (0, 0, 12) $.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para as variáveis $ x $, $ y $ e $ z $. Vamos integrar na ordem $ z $, depois $ y $, e por último $ x $:
- Para $ z $: Vai de 0 até o plano, ou seja, $ z = 12 - 2x - 3y $.
- Para $ y $: Vai de 0 até o ponto onde o plano intersecta o eixo $ y $, que depende de $ x $, então de 0 até $ y = \frac{12 - 2x}{3} $.
- Para $ x $: Vai de 0 até o ponto onde o plano intersecta o eixo $ x $, ou seja, de 0 até 6.
Passo 4
Vamos montar a integral tripla para calcular o volume $ V $:
Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar em relação a $ y $:
Primeiro, separamos a integral:
Calculando cada parte:
-
-
, então $ -2x \cdot \frac{12 - 2x}{3} = -\frac{24x - 4x^2}{3}$integral 12 , dy = 12y |0^12 - 2x3 = 12 cdot 12 - 2x3 = 4(12 - 2x) = 48 - 8x -
, então $ -3 \cdot \frac{(12 - 2x)^2}{18} = -\frac{(12 - 2x)^2}{6} $integral dy = y |0^12 - 2x3 = 12 - 2x3
Juntando tudo:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão e integramos em relação a $ x $:
Para simplificar, calculamos cada termo:
-
permanece.V = integral0^6 (48 - 8x - 24x - 4x^23 - (12 - 2x)^26) dx -
48 - 8x - $ (12 - 2x)^2 = 144 - 48x + 4x^2 $, então
-24x - 4x^23 = -8x + 4x^23
Juntando todos os termos:
Agora, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Substituindo $ x = 6 $:
E para $ x = 0 $, tudo é zero.
Resposta
O volume do sólido é 48 unidades cúbicas.