Obtenha e classique os pontos críticos da função dada (diga se os máximos e os mínimos são globais ou não).
f(x, y)=x^2-x y+y

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo funções de duas variáveis. O objetivo é encontrar e classificar os pontos críticos da função dada:
f(x, y) = x^2 - x y + y
Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e testes de segunda derivada para determinar se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f(x, y)
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
2x - y = 0 -x + 1 = 0
Resolvendo a segunda equação:
-x + 1 = 0 Rightarrow x = 1
Substituindo $ x = 1 $ na primeira equação:
x = 1
Portanto, o ponto crítico é $ (1, 2) $.

Passo 4

Para classificar o ponto crítico $ (1, 2) $, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
(1, 2)
O discriminante $ D $ é dado por:
partial^2 fpartial x^2 = 2, partial^2 fpartial y^2 = 0, partial^2 fpartial x partial y = -1
Substituindo os valores:
D
Como $ D < 0 $, o ponto crítico $ (1, 2) $ é um ponto de sela.

Passo 5

Finalmente, verificamos se existe algum máximo ou mínimo global. Como o único ponto crítico é um ponto de sela, a função não possui máximos ou mínimos globais.

Resposta

A função $ f(x, y) = x^{2} - x y + y $ possui um único ponto crítico em $ (1, 2) $, que é um ponto de sela. Não existem máximos ou mínimos globais para essa função.

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