Obtenha e classique os pontos críticos da função dada (diga se os máximos e os mínimos são globais ou não).
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo funções de duas variáveis. O objetivo é encontrar e classificar os pontos críticos da função dada:
Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e testes de segunda derivada para determinar se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Resolvendo a segunda equação:
Substituindo $ x = 1 $ na primeira equação:
Portanto, o ponto crítico é $ (1, 2) $.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico $ (1, 2) $, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante $ D $ é dado por:
Substituindo os valores:
Como $ D < 0 $, o ponto crítico $ (1, 2) $ é um ponto de sela.
Passo 5
Finalmente, verificamos se existe algum máximo ou mínimo global. Como o único ponto crítico é um ponto de sela, a função não possui máximos ou mínimos globais.
Resposta
A função $ f(x, y) = x^{2} - x y + y $ possui um único ponto crítico em $ (1, 2) $, que é um ponto de sela. Não existem máximos ou mínimos globais para essa função.