Verifique se as funções e^x, e^3 x e e^-x são LI.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se as funções e^x, e^3x e e^-x são linearmente independentes (LI). O conteúdo que vamos usar aqui é de álgebra linear, especificamente o conceito de independência linear de funções. Para resolver isso, precisaremos formar uma combinação linear dessas funções igual a zero e verificar se a única solução possível para os coeficientes dessa combinação é trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Passo 2

Vamos começar montando uma combinação linear das três funções igual a zero. Isso significa que queremos encontrar constantes a, b e c tais que:
a cdot e^x + b cdot e^3x + c cdot e^-x = 0

Passo 3

Para que as funções sejam linearmente independentes, a única solução para essa equação deve ser a = 0, b = 0 e c = 0. Vamos assumir que existe uma combinação não trivial, ou seja, pelo menos um desses coeficientes é diferente de zero, e verificar se isso leva a uma contradição.

Passo 4

Consideramos a equação:
a cdot e^x + b cdot e^3x + c cdot e^-x = 0
Dividindo todos os termos por e^x (que nunca é zero), obtemos:
a + b cdot e^2x + c cdot e^-2x = 0

Passo 5

Essa equação deve valer para todo valor de x. Vamos analisar o comportamento das funções e^2x e e^-2x. À medida que x varia, e^2x cresce exponencialmente, enquanto e^-2x decresce para zero. Para que a soma seja sempre zero, os coeficientes a, b e c devem ser tais que cada termo individualmente seja zero.

Passo 6

Isso implica que:
a = 0
b = 0
c = 0
Pois não há outra maneira de combinar essas funções exponenciais para que a soma seja sempre zero.

Passo 7

Como a única solução possível é a = 0, b = 0 e c = 0, concluímos que as funções são de fato linearmente independentes.

Resposta

As funções e^x, e^3x e e^-x são linearmente independentes.

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