Verifique se as funções
e
são LI.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se as funções
,
e
são linearmente independentes (LI). O conteúdo que vamos usar aqui é de álgebra linear, especificamente o conceito de independência linear de funções. Para resolver isso, precisaremos formar uma combinação linear dessas funções igual a zero e verificar se a única solução possível para os coeficientes dessa combinação é trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Passo 2
Vamos começar montando uma combinação linear das três funções igual a zero. Isso significa que queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Passo 3
Para que as funções sejam linearmente independentes, a única solução para essa equação deve ser
,
e
. Vamos assumir que existe uma combinação não trivial, ou seja, pelo menos um desses coeficientes é diferente de zero, e verificar se isso leva a uma contradição.
Passo 4
Consideramos a equação:
Dividindo todos os termos por
(que nunca é zero), obtemos:
Passo 5
Essa equação deve valer para todo valor de
. Vamos analisar o comportamento das funções
e
. À medida que
varia,
cresce exponencialmente, enquanto
decresce para zero. Para que a soma seja sempre zero, os coeficientes
,
e
devem ser tais que cada termo individualmente seja zero.
Passo 6
Isso implica que:
Pois não há outra maneira de combinar essas funções exponenciais para que a soma seja sempre zero.
Passo 7
Como a única solução possível é
,
e
, concluímos que as funções são de fato linearmente independentes.
Resposta
As funções
,
e
são linearmente independentes.