Calcule as integrais
integral x^2+3x^2-5 x+6 d x

Passo 1

Estamos com a integral integral x^2 + 3x^2 - 5x + 6,dx, que é um caso de funções racionais. Vamos usar divisão de polinômios e depois frações parciais para integrar.

Passo 2

Como o grau do numerador (2) é igual ao do denominador (2), fazemos a divisão polinomial:
x^2 + 3x^2 - 5x + 6 = 1 + 5x - 3x^2 - 5x + 6

Passo 3

Fatoramos o denominador para aplicar frações parciais:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Passo 4

Queremos decompor
5x - 3(x - 2)(x - 3) = Ax - 2 + Bx - 3 Multiplicando em cruz obtemos
5x - 3 = A(x - 3) + B(x - 2) Expandindo dá
(A + B)x - (3A + 2B) = 5x - 3, o que leva ao sistema
A + B = 5 -3A - 2B = -3 Resolvendo encontramos A = -7 e B = 12.

Passo 5

Reescrevendo a integral com essas constantes:
integral x^2 + 3x^2 - 5x + 6,dx = integral 1,dx + integral -7x - 2,dx + integral 12x - 3,dx

Passo 6

Agora integramos cada termo:
integral 1,dx = x,
integral -7x - 2,dx = -7lnlvert x - 2rvert,
integral 12x - 3,dx = 12lnlvert x - 3rvert.

Resposta

x - 7lnlvert x - 2rvert + 12lnlvert x - 3rvert + C

Exercícios relacionados