Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular ou mostrar que a integral imprópria
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui são integrais impróprias e testes de convergência, e vamos precisar analisar o comportamento do integrando em 0 e em infinitude.
Passo 2
Primeiro, analisamos o comportamento da função perto de
. Para
próximo de zero, temos
pois
. Logo,
é limitada e contínua em um intervalo
, com
finito. Assim,
é convergente.
Passo 3
Agora, investigamos o comportamento quando
. Para grandes
,
Podemos usar o teste da comparação-limite. Calculamos
Como a integral
é divergente (pois o expoente
faz com que a anti-derivada cresça sem limite), a integral original também diverge.
Passo 4
Portanto, mesmo sendo convergente em
, a parte de
diverge, e a integral imprópria completa é divergente.
Resposta
A integral diverge.