Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
integral0^infty 1raiz[5]1+x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular ou mostrar que a integral imprópria
integral0^infty 1raiz[5]1+x,dx
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui são integrais impróprias e testes de convergência, e vamos precisar analisar o comportamento do integrando em 0 e em infinitude.

Passo 2

Primeiro, analisamos o comportamento da função perto de x=0. Para x próximo de zero, temos
1raiz[5]1+x<=1,
pois 1+x>=1. Logo, 1raiz[5]1+x é limitada e contínua em um intervalo [0,a], com a>0 finito. Assim,
integral0^a 1raiz[5]1+x,dx
é convergente.

Passo 3

Agora, investigamos o comportamento quando xtoinfty. Para grandes x,
1raiz[5]1+xsim x^-1/5
Podemos usar o teste da comparação-limite. Calculamos
limxtoinfty(1+x)^-1/5x^-1/5= limxtoinftyl(1+tfrac1xr)^-1/5=1
Como a integral
integral1^infty x^-1/5,dx
é divergente (pois o expoente 1/5<=1 faz com que a anti-derivada cresça sem limite), a integral original também diverge.

Passo 4

Portanto, mesmo sendo convergente em [0,a], a parte de [a,infty) diverge, e a integral imprópria completa é divergente.

Resposta

A integral diverge.

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