Calcule as integrais
integral e^2 x2+e^x d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral e^2x2+e^x,dx. O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois vemos a composição de funções exponenciais e uma soma no denominador. Vamos usar a substituição u=e^x.

Passo 2

Fazendo a substituição u=e^x, temos du=e^x,dx, ou seja, dx=duu. Além disso, e^2x=(e^x)^2=u^2. Substituindo na integral:
integral e^2x2+e^x,dx = integral u^22+u cdot duu = integral u2+u,du

Passo 3

Agora simplificamos a fração uu+2 por divisão de polinômios ou observação direta:
uu+2 = 1 - 2u+2
Assim, a integral fica
integral uu+2,du = integral 1,du - 2 integral 1u+2,du = u - 2ln|u+2| + C

Passo 4

Voltando à variável original pela substituição u=e^x, obtemos
e^x - 2lnl|e^x+2r| + C

Resposta

e^x - 2 ln(2+e^x) + C

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