Considere
definida por
e determine
a derivada segunda de
.
Passo 1
Nesse exercício, a gente tem a função definida por uma integral com limite que depende de x, então o conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com Regra da Cadeia. Vamos precisar dessas ferramentas para achar g′(x) e depois g″(x).
Passo 2
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia, a derivada primeira é dada por avaliar o integrando no limite superior multiplicado pela derivada do limite. Assim,
Passo 3
Para encontrar g″(x), diferenciamos g′(x)=2x,\sin(2x^4) usando Regra do Produto e, de novo, Regra da Cadeia para o seno. Temos:
Passo 4
A derivada de 2x é 2, e a derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
. Substituindo,