Considere g definida por
g(x)=integral0^x^2 sen(2 t^2) d t
e determine g^prime prime a derivada segunda de g.

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem a função definida por uma integral com limite que depende de x, então o conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com Regra da Cadeia. Vamos precisar dessas ferramentas para achar g′(x) e depois g″(x).

Passo 2

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia, a derivada primeira é dada por avaliar o integrando no limite superior multiplicado pela derivada do limite. Assim,
g'(x)=sinl(2(x^2)^2r)cdotddx(x^2)=2x,sinl(2x^4r)

Passo 3

Para encontrar g″(x), diferenciamos g′(x)=2x,\sin(2x^4) usando Regra do Produto e, de novo, Regra da Cadeia para o seno. Temos:
g''(x)=ddx(2x)cdotsin(2x^4)+2xcdotddxl[sin(2x^4)r]

Passo 4

A derivada de 2x é 2, e a derivada de sin(2x^4) é cos(2x^4) vezes a derivada de 2x^4, que é 8x^3. Substituindo,
g''(x)=2sin(2x^4)+2xcdotl(cos(2x^4)cdot8x^3r)=2sin(2x^4)+16x^4cos(2x^4)

Resposta

g''(x)=2sinl(2x^4r)+16x^4cosl(2x^4r).

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