Calcule as integrais integral sec ^4(x) tg^4(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando técnicas de substituição e identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular funções trigonométricas e aplicar substituições que simplifiquem a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar algumas identidades trigonométricas que vão nos ajudar:
sec^2(x) = 1 + tan^2(x)
Essa identidade é útil porque relaciona com , o que vai facilitar a substituição na nossa integral.

Passo 3

Observando a integral sec^4(x) = (sec^2(x))^2 = (1 + tan^2(x))^2 , podemos reescrever integral (1 + tan^2(x))^2 tan^4(x) , dx como . Usando a identidade que mencionamos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar du = sec^2(x) , dx , assim:
dx = dusec^2(x) = du1 + u^2
Precisamos expressar todo o integral em termos de . Vamos reorganizar :

Passo 5

Substituindo integral (1 + u^2)^2 u^4 cdot du1 + u^2 = integral (1 + u^2) u^4 , du na nossa integral, temos:
integral (u^4 + u^6) , du
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^4 , du = u^55 + C
integral u^6 , du = u^77 + C
Então, juntando tudo:
u^55 + u^77 + C

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição tan^5(x)5 + tan^7(x)7 + C , vamos voltar para a variável original:

Resposta

A integral tan^5(x)5 + tan^7(x)7 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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