Calcule as integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando técnicas de substituição e identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular funções trigonométricas e aplicar substituições que simplifiquem a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar algumas identidades trigonométricas que vão nos ajudar:
Essa identidade é útil porque relaciona
com
, o que vai facilitar a substituição na nossa integral.
Passo 3
Observando a integral
, podemos reescrever
como
. Usando a identidade que mencionamos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
, assim:
Precisamos expressar todo o integral em termos de
. Vamos reorganizar
:
Passo 5
Substituindo
na nossa integral, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, juntando tudo:
Passo 7
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para a variável original:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.