Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n-1 raiznn+4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e o Teste da Série Alternada. Vamos precisar verificar se os termos da série estão diminuindo e se eles tendem a zero conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série sem considerar o sinal alternado. Nosso termo geral é . Precisamos analisar se tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 3

Vamos calcular o limite de limn to infty raiznn+4 quando limn to infty 1raizn + 4raizn = 0 tende a infinito:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência an+1 = raizn+1(n+1)+4 = raizn+1n+5 é decrescente. Ou seja, queremos ver se para todo a partir de algum número.
Calculando:
Comparando com , fica claro que o numerador cresce mais devagar que o denominador, então para suficientemente grande.

Passo 5

Como os termos tendem a zero e são decrescentes, podemos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se uma série alternada tem termos decrescentes que tendem a zero, a série converge.

Resposta

Portanto, a série converge.

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