Determine se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e o Teste da Série Alternada. Vamos precisar verificar se os termos da série estão diminuindo e se eles tendem a zero conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série sem considerar o sinal alternado. Nosso termo geral é
. Precisamos analisar se
tende a zero quando
vai para o infinito.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende a infinito:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência
é decrescente. Ou seja, queremos ver se
para todo
a partir de algum número.
Calculando:
Comparando com
, fica claro que o numerador cresce mais devagar que o denominador, então
para
suficientemente grande.
Passo 5
Como os termos
tendem a zero e são decrescentes, podemos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se uma série alternada tem termos decrescentes que tendem a zero, a série converge.
Resposta
Portanto, a série
converge.