Dado um número real
seja
. Mostre que
e se
, use essa relação e deduza que
Agora, identifique a sequência
com aquela de termo geral
e calcule seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes aqui:
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Primeira parte: Temos uma soma geométrica $ S_n = 1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} $. Precisamos mostrar que $ S_n - r S_n = 1 - r^n $ e, se $ |r| < 1 $, usar isso para descobrir que o limite de $ S_n $ quando $ n $ tende ao infinito é $ \frac{1}{1 - r} $.
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Segunda parte: Temos uma sequência cujos termos são $ \sqrt{2}, \sqrt{2 \sqrt{2}}, \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}, ··· $, e o termo geral é dado por $ a_n = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n}}} $. Precisamos identificar essa sequência e calcular seu limite.
Para resolver essas partes, vamos precisar entender somas geométricas, limites de sequências e propriedades de potências e exponenciais.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte: $ S_n = 1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} $. Isso é uma soma geométrica, onde cada termo é multiplicado por $ r $ em relação ao anterior.
Para mostrar que $ S_n - r S_n = 1 - r^n $, vamos fazer a seguinte manipulação:
Multiplicamos $ S_n $ por $ r $:
Agora, subtraímos essa expressão de $ S_n $:
Perceba que quase todos os termos se cancelam:
Passo 3
Agora que temos $ S_n - r S_n = 1 - r^n $, podemos fatorar $ S_n $ do lado esquerdo:
Para encontrar $ S_n $, basta dividir ambos os lados por $ 1 - r $:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de $ S_n $ quando $ n $ tende ao infinito, ou seja, $ \lim_{n \to \infty} S_n $.
Se $ |r| < 1 $, então $ r^n $ tende a zero conforme $ n $ cresce. Portanto:
Isso mostra que a soma infinita de uma progressão geométrica com razão $ |r| < 1 $ é $ \frac{1}{1 - r} $.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte da questão. Temos a sequência:
E o termo geral é:
Queremos encontrar o limite dessa sequência quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 6
Primeiro, vamos analisar o expoente em $ a_n $:
Isso é uma soma geométrica onde cada termo é $ \frac{1}{2} $ vezes o termo anterior. A soma dessa progressão até o termo $ n $ é:
Sabemos que essa soma é igual a:
Passo 7
Portanto, o termo geral $ a_n $ pode ser reescrito como:
Agora, queremos encontrar o limite de $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito:
Como $ \frac{1}{2^{n}} $ tende a zero quando $ n $ vai para o infinito, temos:
Resposta
O limite da sequência $ a_n = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n}}} $ quando $ n $ tende ao infinito é 2.