Dado um número real r seja Sn=1+r+r^2+cdots+r^n-1, n in N. Mostre que Sn-r Sn=1-r^n e se |r|<1, use essa relação e deduza que
lim n infty Sn=11-r
Agora, identifique a sequência raiz2, raiz2 raiz2, raiz2 raiz2 raiz2, ldots com aquela de termo geral an=2^12+14+cdots+12^n e calcule seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes aqui:
  1. Primeira parte: Temos uma soma geométrica $ S_n = 1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} $. Precisamos mostrar que $ S_n - r S_n = 1 - r^n $ e, se $ |r| < 1 $, usar isso para descobrir que o limite de $ S_n $ quando $ n $ tende ao infinito é $ \frac{1}{1 - r} $.
  2. Segunda parte: Temos uma sequência cujos termos são $ \sqrt{2}, \sqrt{2 \sqrt{2}}, \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}, ··· $, e o termo geral é dado por $ a_n = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n}}} $. Precisamos identificar essa sequência e calcular seu limite.
Para resolver essas partes, vamos precisar entender somas geométricas, limites de sequências e propriedades de potências e exponenciais.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte: $ S_n = 1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} $. Isso é uma soma geométrica, onde cada termo é multiplicado por $ r $ em relação ao anterior.
Para mostrar que $ S_n - r S_n = 1 - r^n $, vamos fazer a seguinte manipulação:
Multiplicamos $ S_n $ por $ r $:
Sn = 1 + r + r^2 + cdots + r^n-1
Agora, subtraímos essa expressão de $ S_n $:
r
Perceba que quase todos os termos se cancelam:
Sn - r Sn = 1 - r^n

Passo 3

Agora que temos $ S_n - r S_n = 1 - r^n $, podemos fatorar $ S_n $ do lado esquerdo:
Sn - r Sn = 1 - r^n
Para encontrar $ S_n $, basta dividir ambos os lados por $ 1 - r $:
Sn

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de $ S_n $ quando $ n $ tende ao infinito, ou seja, $ \lim_{n \to \infty} S_n $.
Se $ |r| < 1 $, então $ r^n $ tende a zero conforme $ n $ cresce. Portanto:
Sn
Isso mostra que a soma infinita de uma progressão geométrica com razão $ |r| < 1 $ é $ \frac{1}{1 - r} $.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte da questão. Temos a sequência:
raiz2, raiz2 raiz2, raiz2 raiz2 raiz2, ldots
E o termo geral é:
an = 2^12 + 14 + cdots + 12^n
Queremos encontrar o limite dessa sequência quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 6

Primeiro, vamos analisar o expoente em $ a_n $:
an
Isso é uma soma geométrica onde cada termo é $ \frac{1}{2} $ vezes o termo anterior. A soma dessa progressão até o termo $ n $ é:
12 + 14 + cdots + 12^n
Sabemos que essa soma é igual a:
12

Passo 7

Portanto, o termo geral $ a_n $ pode ser reescrito como:
an
Agora, queremos encontrar o limite de $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito:
an = 2^Sn = 2^1 - 12^n
Como $ \frac{1}{2^{n}} $ tende a zero quando $ n $ vai para o infinito, temos:
an

Resposta

O limite da sequência $ a_n = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n}}} $ quando $ n $ tende ao infinito é 2.

Exercícios relacionados