Calcule as integrais.
integral x^2(x^3+3)^9 d x

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver essa integral: integral x^2(x^3+3)^9 dx. Isso está no campo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifica a integral para algo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Olha só: se a gente deixar u = x^3 + 3, isso vai ajudar bastante porque a derivada de u em relação a x é algo que já temos na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 3x^2
Isso significa que du = 3x^2 dx. Viu só? Temos um x^2 dx na nossa integral original, então podemos usar isso para substituir.

Passo 4

Vamos rearranjar a expressão para du:
x^2 dx = du3
Agora, substituímos u e x^2 dx na integral original:
integral x^2(x^3+3)^9 dx = integral (u)^9 cdot du3
Simplificando, fica:
13 integral u^9 du

Passo 5

Agora, é só integrar u^9 em relação a u. A integral de u^n é u^n+1n+1, então:
13 cdot u^1010 + C = u^1030 + C
Lembrando que C é a constante de integração.

Resposta

Substituindo u = x^3 + 3 de volta, temos:
integral x^2(x^3+3)^9 dx = (x^3+3)^1030 + C

Exercícios relacionados