Se w=f(x, y), em que x=e^r cos theta e y=e^r sen theta, mostre que
partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2=e^-2 r(partial^2 wpartial r^2+partial^2 wpartial theta^2)

Passo 1

Estamos transformando a laplaciana em ,(x,y) para coordenadas ,(r,\theta) usando regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivadas parciais de segunda ordem e mudança de variáveis em funções de várias variáveis. Vamos precisar da regra da cadeia e de expressões para ,\partial w/\partial r, ,\partial w/\partial \theta e suas segundas derivadas.

Passo 2

Primeiro, achamos as derivadas de primeira ordem em relação a ,r e \theta. Como ,x=e^r\cos\theta e ,y=e^r\sin\theta, temos
partial xpartial r=e^rcostheta=x, partial ypartial r=e^rsintheta=y
Pela regra da cadeia,
partial wpartial r=fxpartial xpartial r+fypartial ypartial r=fx,x+fy,y
De forma análoga,
partial xpartial theta=-e^rsintheta=-y, partial ypartial theta=e^rcostheta=x
e
partial wpartial theta=fx(-y)+fy,x

Passo 3

Agora calculamos ,\partial^2 w/\partial r^2. Aplicando a regra da cadeia de novo em ,\partial w/\partial r=f_x x + f_y y, obtemos
partial^2 wpartial r^2=(fxxx+fxyy)x+fx,x+(fxyx+fyyy)y+fy,y
que se reorganiza em
partial^2 wpartial r^2=fxxx^2+2fxyxy+fyyy^2+fx x+fy y

Passo 4

Em seguida, obtemos ,\partial^2 w/\partial \theta^2. Derivando ,\partial w/\partial \theta=-f_x y+f_y x em relação a \theta, e usando novamente a cadeia, achamos
partial^2 wpartial theta^2=fxxy^2-2fxyxy+fyyx^2- fx x- fy y

Passo 5

Somamos agora as duas segundas derivadas. Juntando os termos:
partial^2 wpartial r^2+partial^2 wpartial theta^2 =l(fxx+fyyr)(x^2+y^2)
Como ,x2+y2=e^{2r}, e fxx+fyy=partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2, vem
partial^2 wpartial r^2+partial^2 wpartial theta^2=e^2rl(partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2r)
Reorganizando, obtemos o que se pedia:

Resposta

partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2=e^-2 rl(partial^2 wpartial r^2+partial^2 wpartial theta^2r).

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