Se
, em que
e
, mostre que
Passo 1
Estamos transformando a laplaciana em ,(x,y) para coordenadas ,(r,\theta) usando regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivadas parciais de segunda ordem e mudança de variáveis em funções de várias variáveis. Vamos precisar da regra da cadeia e de expressões para ,\partial w/\partial r, ,\partial w/\partial \theta e suas segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, achamos as derivadas de primeira ordem em relação a ,r e \theta. Como ,x=e^r\cos\theta e ,y=e^r\sin\theta, temos
Pela regra da cadeia,
De forma análoga,
e
Passo 3
Agora calculamos ,\partial^2 w/\partial r^2. Aplicando a regra da cadeia de novo em ,\partial w/\partial r=f_x x + f_y y, obtemos
que se reorganiza em
Passo 4
Em seguida, obtemos ,\partial^2 w/\partial \theta^2. Derivando ,\partial w/\partial \theta=-f_x y+f_y x em relação a \theta, e usando novamente a cadeia, achamos
Passo 5
Somamos agora as duas segundas derivadas. Juntando os termos:
Como ,x2+y2=e^{2r}, e
, vem
Reorganizando, obtemos o que se pedia: